Página — Matematica 9° Secundaria (pág. 38)

Observemos paso a paso cómo se soluciona un determinante 2 x 2 en un sistema de ecuaciones

Realicemos el ejercicio con una ecuación \begin{cases}3x+2y=7\\4x-3y=-2\end{cases}

La matriz se organiza de la siguiente manera:

\begin{aligned}\left|\boldsymbol{A}\right|=\left|\begin{array}{cc}3&2\\4&-3\\\end{array}\right|=(3\cdot(-3))-(4\cdot2)\\=-9-8\end{aligned}

|A|=-17

Los determinantes los utilizamos para resolver ecuaciones lineales a partir de la regla de Cramer. Explicaremos a continuación cómo se trabaja esta regla.

Tenemos las ecuaciones:

\begin{array}{l}a_{_1}x+b_{_1}y=c_{_1}\\a_{_2}x+b_{_2}y=c_{_2}\end{array}

Se puede utilizar las propiedades de la suma y la multiplicación para encontrar x y y, de esta manera tenemos que:

x=\frac{c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\quad y=\frac{a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}

Puedes darte cuenta que los denominadores, es el determinante del sistema de ecuaciones.

\left|\mathsf{A}\right|=\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{matrix}\right|=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

Puedes observar también que los numeradores de x y y son diferentes. A continuación se encuentran dos determinantes, etiquetados con

\left|\mathsf{A}\right|_{x}=\left|\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\ c_{2}&b_{2}\end{matrix}\right|=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}\left|\mathsf{A}\right|_{y}=\left|\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\ a_{2}&c_{2}\end{matrix}\right|=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}

Guia 4·Postprimaria Rural