FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 240 – Resuelto 0

Pregunta 1) a) Una muestra del isótopo \(^{131}\mathrm{I}\) que tiene una vida media de 8,04 días, posee una actividad de 5,0 mCi en el tiempo de embarque. Al recibir la muestra en un laboratorio médico, la actividad es de 2,1 mCi. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre las dos mediciones?

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Ley de decaimiento: \(A=A_0 e^{-\lambda t}\) y \(\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}\).
Paso 2: Calculo de \(\lambda\): \(\lambda=\dfrac{\ln 2}{8{,}04\ \text{d}}=\dfrac{0{,}693147}{8{,}04\ \text{d}}=0{,}08614\ \text{d}^{-1}\).
Paso 3: Despejo \(t\) de \(A=A_0 e^{-\lambda t}\): \(\dfrac{A}{A_0}=e^{-\lambda t}\) entonces \(t= -\dfrac{1}{\lambda}\ln\left(\dfrac{A}{A_0}\right)=\dfrac{1}{\lambda}\ln\left(\dfrac{A_0}{A}\right)\).
Paso 4: Sustituyo números: \(\dfrac{A_0}{A}=\dfrac{5{,}0\ \cancel{\mathrm{mCi}}}{2{,}1\ \cancel{\mathrm{mCi}}}=2{,}38095\).
Paso 5: \(t=\dfrac{\ln(2{,}38095)}{0{,}08614}=\dfrac{0{,}86730}{0{,}08614}=10{,}06\ \text{d}\).
Resultado final: \(\boxed{10{,}06\ \text{días} \approx 10{,}1\ \text{días}}\)

Pregunta 2) b) Si se sabe que el número de núcleos radioactivos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día, resuelvo lo siguiente: i) Hallo la constante radioactiva mediante la ley de emisión radioactiva.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\). Para \(t_{1/2}=1\ \text{d}\), por definición \(N(1)=\dfrac{N_0}{2}=N_0 e^{-\lambda\cdot 1}\).
Paso 2: De esto: \(e^{-\lambda}=\dfrac{1}{2}\) entonces \(-\lambda=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2\).
Paso 3: Por tanto \(\lambda=\ln 2=0{,}693147\ \text{d}^{-1}\).
Resultado final: \(\boxed{\lambda=\ln 2\approx 0{,}6931\ \text{d}^{-1}}\)

Pregunta 3) b) ii) Determino el período de semidesintegración.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Relación entre vida media y constante: \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Paso 2: Sustituyo \(\lambda=\ln 2\) (del inciso i): \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\ln 2}=1\ \text{día}\).
Resultado final: \(\boxed{t_{1/2}=1\ \text{día}}\)

Pregunta 4) c) Determino, ¿cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea? Justifico mi respuesta.

i) \(^{40}_{20}\mathrm{Ca}\to e^{+}+^{40}_{19}\mathrm{K}\)

Respuesta:
Paso 1: Compruebo conservación de número másico y carga: masa: \(40=40\) y carga: \(20=0(\text{e}^+)+19\) (la partícula positrón lleva carga +1, pero al escribir núcleos comparamos cargas nucleares: 20 del padre =19 del núcleo hijo +1 de la partícula), por tanto las ecuaciones de partículas están balanceadas.
Paso 2: Regla energética para decaimiento beta más (positrón): requiere que la masa-energía del núcleo padre sea al menos \(2m_e c^2\) mayor que la del núcleo hijo; en la práctica solo ocurre si el padre es menos ligado que el hijo por esa cantidad. \(^{40}\mathrm{Ca}\) es un núcleo estable y no tiene energía disponible para emitir un positrón a \(^{40}\mathrm{K}\); por tanto la desintegración no es energéticamente favorecida.
Resultado final: \(\boxed{\text{No espontánea (i) no ocurre espontáneamente}}\)

Pregunta 5) c) ii) \(^{98}_{44}\mathrm{Ru}\to^{4}_{2}\mathrm{He}+^{94}_{42}\mathrm{Mo}\)

Respuesta:
Paso 1: Compruebo conservación: masa: \(98=4+94\) OK. carga: \(44=2+42\) OK. Es una emisión alfa (partícula \(^{4}_{2}\mathrm{He}\)).
Paso 2: Regla energética y criterio: la emisión alfa se da con mayor frecuencia en núcleos pesados (Z grandes) donde la repulsión coulombiana y la ganancia de energía del sistema hacen positiva la energía Q. Núcleos de masa intermedia como \(^{98}\mathrm{Ru}\) rara vez tienen Q positivo para emitir alfa; además los isótopos de rutenio son, en general, estables frente a emisión alfa.

Resultado final: \(\boxed{\text{No espontánea (ii) no ocurre espontáneamente}}\)

Pregunta 6) c) iii) \(^{144}_{60}\mathrm{Nd}\to^{4}_{2}\mathrm{He}+^{140}_{58}\mathrm{Ce}\)

Respuesta:
Paso 1: Compruebo conservación: masa: \(144=4+140\) OK. carga: \(60=2+58\) OK. Es emisión alfa.

Paso 2: Energía: núcleos con Z alrededor de 60 y mayor pueden, en algunos casos, tener Q positivo para emisión alfa. Muchos isótopos pesados o de masa alta presentan emisión alfa como modo de desintegración. \(^{144}\mathrm{Nd}\) puede emitir una partícula alfa si la energía Q es positiva (es decir, el producto está más ligado en energía que el padre); esto es más probable que en los casos anteriores por su mayor número másico y carga.

Paso 3: Comparando los tres casos, sólo iii) reúne las condiciones típicas (Z y A suficientemente grandes) para que la emisión alfa sea energéticamente posible; i) requería energía adicional para emitir un positrón y ii) es poco favorecida para núcleos de masa intermedia.

Resultado final: \(\boxed{\text{Solo (iii) puede presentarse espontáneamente}}\)