FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 242 – Resuelto 0

Pregunta 1a) Investigo en qué consisten las pruebas de carbono 14 para determinar el tiempo de vida de materiales que contienen carbono.

Respuesta:
Paso 1: Regla/fórmula principal: El número de núcleos de carbono-14 sigue la ley exponencial: \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\).
Paso 2: Explicación paso a paso: los seres vivos incorporan carbono atmosférico con la misma proporción de 14C que el aire. Al morir, deja de intercambiar carbono y el 14C comienza a decaer. Midiendo la actividad o la fracción de 14C restante y comparándola con la actividad modern a, se obtiene la fracción \(f=\dfrac{N(t)}{N_0}\).
Paso 3: Cálculo del tiempo: a partir de \(f\) se obtiene el tiempo usando \(t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\left(\dfrac{1}{f}\right)\), con \(\lambda=\dfrac{\ln 2}{5730\ \text{años}}\).
Resultado final: \(\boxed{\text{La datación por 14C mide la fracción de 14C restante y usa }t=\dfrac{\ln(1/f)}{\lambda}}\)

Pregunta 1b) Determino hace cuánto tiempo murió el árbol del que proviene este carbón.

Respuesta:
Paso 1: Regla/fórmula: \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\) y \(\lambda=\dfrac{\ln 2}{5730\ \text{años}}\).
Paso 2: Despejo t: \(\dfrac{N(t)}{N_0}=e^{-\lambda t}\).
Paso 3: Cancelo \(N_0\) y aplico logaritmo: \(\dfrac{N(t)}{\cancel{N_0}}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln\left(\dfrac{N(t)}{N_0}\right)=-\lambda t\).
Paso 4: Resultado general: \(t= -\dfrac{1}{\lambda}\ln\left(\dfrac{N(t)}{N_0}\right)=\dfrac{1}{\lambda}\ln\left(\dfrac{N_0}{N(t)}\right)=\dfrac{\ln(1/f)}{\lambda}\), donde \(f=\dfrac{N(t)}{N_0}\).
Paso 5: Observación práctica: si la muestra de carbón es de un carbón fósil muy antiguo, el 14C puede ser indetectable; la datación por 14C es fiable hasta ~40 000–50 000 años. Si no hay 14C medible, sólo se puede afirmar que \(t\gtrsim 5\times10^4\) años (no se obtiene un número preciso).
Resultado final: \(\boxed{t=\dfrac{\ln(1/f)}{\lambda}\quad\text{con }\lambda=\dfrac{\ln2}{5730\ \text{años}}\text{. Si 14C es indetectable, }t\gtrsim5\times10^4\ \text{años.}}\)

Pregunta 2a) Escribo la ecuación de la reacción: El oro natural tiene el isótopo \(^{179}_{79}\mathrm{Au}\). Si se irradia con un flujo de electrones lentos, se produce una emisión de electrones.

Respuesta:
Paso 1: Regla/fórmula: Emisión beta (\(\beta^-\)) corresponde a la transformación \(n\to p+e^-+\bar{\nu}_e\). En notación nuclear: \(^{A}_{Z}X\to ^{A}_{Z+1}Y + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e\).
Paso 2: Aplico a este caso: \(^{179}_{79}\mathrm{Au}\to ^{179}_{80}\mathrm{Hg} + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e\).
Resultado final: \(\boxed{^{179}_{79}\mathrm{Au}\;\to\;^{179}_{80}\mathrm{Hg} + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e}\)

Pregunta 2b) Calculo la energía máxima de los electrones emitidos.

Respuesta:
Paso 1: Regla/fórmula: La energía máxima cinética del electrón (despreciando la energía de recoil) es el Q-valor de la reacción: \(K_{\max}\approx Q=(M_{padre}-M_{hijo})c^2\), usando masas atómicas. Si se usan masas nucleares hay que restar también la masa del electrón; con masas atómicas la expresión anterior es correcta para \(\beta^-\).
Paso 2: Expresión práctica: \(K_{\max}\;[\text{MeV}]\;=\;\big(M(^{179}\mathrm{Au})-M(^{179}\mathrm{Hg})\big)\times 931.494\ \text{MeV/u}\).
Paso 3: Qué datos faltan: para calcular numéricamente se necesitan las masas atómicas precisas de \(^{179}\mathrm{Au}\) y \(^{179}\mathrm{Hg}\) (en unidades u). Sustituyendo esas masas en la fórmula se obtiene \(K_{\max}\).
Paso 4: Ejemplo simbólico: si por ejemplo \(M(^{179}\mathrm{Au})-M(^{179}\mathrm{Hg})=\Delta m\) (en u), entonces $$K_{\max}=\Delta m\times 931.494\ \text{MeV}.$$
Resultado final: \(\boxed{K_{\max}\approx (M(^{179}\mathrm{Au})-M(^{179}\mathrm{Hg}))\,c^2 = (M_{Au}-M_{Hg})\times931.494\ \text{MeV}}\). Si me das las masas puedo calcular el valor numérico.