FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 93 – Resuelto 0

Pregunta 1) Explica y demuestra por qué la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro produce movimiento armónico simple. Usa un radio A y velocidad angular \(\omega\), con fase inicial cero.

Respuesta:
Paso 1: Descripción del movimiento circular uniforme: la posición en coordenadas polares del punto sobre la circunferencia de radio A es \(\vec{r}(t)=A\cos(\theta(t))\hat{i}+A\sin(\theta(t))\hat{j}\).
Paso 2: Relación entre ángulo y tiempo: \(\theta(t)=\omega t+\phi\). Aquí tomamos \(\phi=0\) para fase inicial cero, entonces \(\theta(t)=\omega t\).
Paso 3: Proyección sobre el eje x (diámetro horizontal): extraemos la componente x: \(x(t)=A\cos(\theta(t))=A\cos(\omega t)\).
Paso 4: Esta expresión es exactamente la forma de la posición en MAS: \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\) con \(\phi=0\).
Paso 5: Con esto se ve que la proyección oscila entre \(-A\) y \(+A\) periódicamente, es decir, es movimiento armónico simple.
Resultado final: \(\boxed{x(t)=A\cos(\omega t)}\)

Pregunta 2) Dado un MAS con amplitud \(A=0.10\ \mathrm{m}\) y frecuencia \(f=2.0\ \mathrm{Hz}\), escribe la función de posición \(x(t)\), calcula la velocidad máxima y la aceleración máxima.

Respuesta:
Paso 1: Fórmula para \(\omega\): \(\omega=2\pi f\).
Paso 2: Sustituimos: \(\omega=2\pi(2.0)=4\pi\ \mathrm{rad/s}\).
Paso 3: Posición general: \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\). Tomamos fase \(\phi=0\) para simplicidad, entonces \(x(t)=0.10\cos(4\pi t)\) metros.
Paso 4: Velocidad máxima: \(v_{max}=\omega A\). Aplicamos: \(v_{max}=(4\pi)(0.10)=0.4\pi\ \mathrm{m/s}\). Podemos dejar como número: \(0.4\pi\approx1.257\ \mathrm{m/s}\).
Paso 5: Aceleración máxima: \(a_{max}=\omega^2 A\). Calculamos: \(\omega^2=(4\pi)^2=16\pi^2\). Entonces \(a_{max}=(16\pi^2)(0.10)=1.6\pi^2\ \mathrm{m/s^2}\). Numéricamente \(1.6\pi^2\approx15.79\ \mathrm{m/s^2}\).
Resultado final: \(\boxed{x(t)=0.10\cos(4\pi t)\ \mathrm{m},\ v_{max}=0.4\pi\ \mathrm{m/s}\ (\approx1.257\ \mathrm{m/s}),\ a_{max}=1.6\pi^2\ \mathrm{m/s^2}\ (\approx15.79\ \mathrm{m/s^2}))}\)

Pregunta 3) Demuestra la relación entre aceleración y posición en MAS: \(a(t)=-\omega^2 x(t)\). Luego calcula la aceleración cuando \(x= A/2\) para el MAS del ejercicio 2 (usa los valores de \(\omega\) y \(A\) dados).

Respuesta:
Paso 1: Partimos de la posición: \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\).
Paso 2: Derivamos para obtener la velocidad: \(v(t)=\dfrac{dx}{dt}=-\omega A\sin(\omega t+\phi)\).
Paso 3: Derivamos nuevamente para la aceleración: \(a(t)=\dfrac{dv}{dt}=-\omega^2 A\cos(\omega t+\phi)\).
Paso 4: Observamos que \(A\cos(\omega t+\phi)=x(t)\), por tanto \(a(t)=-\omega^2 x(t)\).
Paso 5: Ahora calculamos la aceleración cuando \(x= A/2\). Usamos \(a=-\omega^2 x\). Sustituimos \(\omega=4\pi\) y \(x=A/2=0.10/2=0.05\ \mathrm{m}\).
Paso 6: \(a=- (4\pi)^2(0.05)= -16\pi^2(0.05)= -0.8\pi^2\ \mathrm{m/s^2}\). Numérico: \(-0.8\pi^2\approx -7.895\ \mathrm{m/s^2}\).
Resultado final: \(\boxed{a=-0.8\pi^2\ \mathrm{m/s^2}\approx -7.90\ \mathrm{m/s^2}}\)

Pregunta 4) Para un resorte con constante \(k=8.0\ \mathrm{N/m}\) y una masa \(m=0.50\ \mathrm{kg}\) conectada, calcula el periodo \(T\), la frecuencia \(f\) y la velocidad angular \(\omega\). Si la amplitud es \(A=0.05\ \mathrm{m}\), escribe la ecuación de movimiento (fase inicial cero).

Respuesta:
Paso 1: Fórmula del periodo: \(T=2\pi\sqrt{m/k}\).
Paso 2: Sustituimos: \(T=2\pi\sqrt{0.50/8.0}=2\pi\sqrt{0.0625}\).
Paso 3: Calculamos la raíz: \(\sqrt{0.0625}=0.25\). Así \(T=2\pi(0.25)=0.5\pi\ \mathrm{s}\). Numérico: \(0.5\pi\approx1.571\ \mathrm{s}\).
Paso 4: Frecuencia: \(f=1/T=1/(0.5\pi)=2/\pi\ \mathrm{Hz}\) que numéricamente es \(\approx0.637\ \mathrm{Hz}\).
Paso 5: Velocidad angular: \(\omega=2\pi f=2\pi(2/\pi)=4\ \mathrm{rad/s}\). (También se obtiene de \(\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{8/0.5}=\sqrt{16}=4\).)
Paso 6: Ecuación de movimiento con \(A=0.05\) y \(\phi=0\): \(x(t)=0.05\cos(4t)\) metros.
Resultado final: \(\boxed{T=0.5\pi\ \mathrm{s}\ (\approx1.571\ \mathrm{s}),\ f=2/\pi\ \mathrm{Hz}\ (\approx0.637\ \mathrm{Hz}),\ \omega=4\ \mathrm{rad/s},\ x(t)=0.05\cos(4t)\ \mathrm{m}}\)