Página 24 - ejercicios
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Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 24 – Resuelto 0
Contexto breve: Se dan las funciones racionales \(f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-2}\) y \(g(x)=\dfrac{4x}{3x-2}\). Vamos a calcular la suma, el producto y la división punto a punto. Regla principal: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\), \((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\), \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\).
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 24.
Pregunta 1) Calcular \((f+g)(x)\) dadas \(f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-2}\) y \(g(x)=\dfrac{4x}{3x-2}\).
Respuesta:
Paso 1: Regla: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\).
Paso 2: Sumar las fracciones con mismo denominador: \(\dfrac{2x+3}{3x-2}+\dfrac{4x}{3x-2}=\dfrac{2x+3+4x}{3x-2}\).
Paso 3: Agrupar términos semejantes en el numerador: \(2x+3+4x=6x+3\).
Paso 4: Factorizar el numerador si se desea: \(6x+3=3(2x+1)\). No hay cancelación posible con el denominador. Dominio: \(3x-2\neq0\Rightarrow x\neq\dfrac{2}{3}\).
Resultado final: $$ (f+g)(x)=\dfrac{6x+3}{3x-2}=\dfrac{3(2x+1)}{3x-2} \qquad \boxed{\dfrac{6x+3}{3x-2}} $$
Pregunta 2) Calcular \((f\cdot g)(x)\) dadas \(f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-2}\) y \(g(x)=\dfrac{4x}{3x-2}\).
Respuesta:
Paso 1: Regla: \((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\).
Paso 2: Multiplicar las fracciones: \(\dfrac{2x+3}{3x-2}\cdot\dfrac{4x}{3x-2}=\dfrac{4x(2x+3)}{(3x-2)(3x-2)}\).
Paso 3: Escribir el denominador al cuadrado: \(=(3x-2)^2\). No hay factor común que permita cancelar con el numerador en forma general. Dominio: \(3x-2\neq0\Rightarrow x\neq\dfrac{2}{3}\).
Resultado final: $$ (f\cdot g)(x)=\dfrac{4x(2x+3)}{(3x-2)^2} \qquad \boxed{\dfrac{4x(2x+3)}{(3x-2)^2}} $$
Pregunta 3) Calcular \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\) dadas \(f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-2}\) y \(g(x)=\dfrac{4x}{3x-2}\).
Respuesta:
Paso 1: Regla: \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\).
Paso 2: Sustituir y dividir fracciones: \(\dfrac{\dfrac{2x+3}{3x-2}}{\dfrac{4x}{3x-2}}=\dfrac{2x+3}{3x-2}\cdot\dfrac{3x-2}{4x}\).
Paso 3: Cancelación algebraica (mostrar la cancelación): \(=\dfrac{2x+3}{\cancel{3x-2}}\cdot\dfrac{\cancel{3x-2}}{4x}=\dfrac{2x+3}{4x}\).
Paso 4: Atención a las restricciones de dominio: originalmente ambos denominadores exigían \(3x-2\neq0\Rightarrow x\neq\dfrac{2}{3}\) y además en la división por \(g(x)\) aparece \(4x\) en el denominador final, por lo que también se requiere \(4x\neq0\Rightarrow x\neq0\). Aunque algebraicamente se canceló \(3x-2\), la exclusión \(x\neq\dfrac{2}{3}\) permanece. Por tanto el dominio es \(x\neq0,\; x\neq\dfrac{2}{3}\).
Resultado final: $$ \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{2x+3}{4x} \qquad \boxed{\dfrac{2x+3}{4x}} $$
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 24.:
- \(\dfrac{6x+3}{3x-2}\)
- \(\dfrac{4x(2x+3)}{(3x-2)^2}\)
- \(\dfrac{2x+3}{4x}\), con dominio \(x\neq0,\;x\neq\dfrac{2}{3}\)
