Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 54 – Resuelto 0

Pregunta 1) ¿En tu aula de clase explica cuántos planos paralelos y perpendiculares puedes encontrar?

Respuesta:
Paso 1: Los planos de referencia más comunes del aula son suelo, paredes y techo.
Paso 2: Planos paralelos: el suelo es paralelo al techo, y cada pared es paralela a la pared opuesta (dos pares de paredes).
Paso 3: En un aula típica con 4 paredes rectangulares, hay 2 planos paralelos (suelo y techo) + 2 pares de paredes (pared 1 con pared 3, pared 2 con pared 4).
Resultado final: Se pueden identificar 3 conjuntos de planos paralelos: (suelo–techo) y (paredes opuestas: 2 pares).

Pregunta 2) Determina la norma (longitud) de los siguientes vectores: \(A=(2,-1,4)\), \(B=(-1,1,2)\) y \(C=(1,-1,1)\).

Respuesta:
Paso 1: Regla (norma de un vector): si \(v=(x,y,z)\), entonces \(\|v\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).
Paso 2: \(\|A\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}\).
Paso 3: \(\|B\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\).
Paso 4: \(\|C\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\).
Resultado final: \(\|A\|=\boxed{\sqrt{21}},\ \|B\|=\boxed{\sqrt{6}},\ \|C\|=\boxed{\sqrt{3}}\).

Pregunta 3) Calcula las operaciones dadas los siguientes vectores: \(A=(2,-1,4)\), \(B=(-1,1,2)\) y \(C=(1,-1,1)\).

Respuesta:
Paso 1: La consigna dice “Calculo las operaciones dadas…”, pero no especifica cuáles (por ejemplo: producto escalar, suma, resta o producto cruz).
Paso 2: Para que puedas avanzar, se calculan las operaciones más usuales en paralelismo/perpendicularidad: producto escalar entre pares: \(A\cdot B\), \(A\cdot C\) y \(B\cdot C\).
Paso 3: Regla (producto escalar): si \(u=(u_1,u_2,u_3)\) y \(v=(v_1,v_2,v_3)\), entonces \(u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\).
Paso 4: \(A\cdot B=2(-1)+(-1)(1)+4(2)=-2-1+8=5\).
Paso 5: \(A\cdot C=2(1)+(-1)(-1)+4(1)=2+1+4=7\).
Paso 6: \(B\cdot C=(-1)(1)+1(-1)+2(1)=-1-1+2=0\).
Resultado final: \(\boxed{A\cdot B=5},\ \boxed{A\cdot C=7},\ \boxed{B\cdot C=0}\).

Pregunta 4) Con el producto escalar, ¿cuándo serían perpendiculares los planos cuyos vectores normales son \(A\), \(B\) y \(C\)?

Respuesta:
Paso 1: Regla (perpendicularidad de planos): si \(\vec n_1\cdot \vec n_2=0\), entonces los planos son perpendiculares.
Paso 2: Usamos los resultados: \(A\cdot B=5\neq 0\) (no son perpendiculares).
Paso 3: \(A\cdot C=7\neq 0\) (no son perpendiculares).
Paso 4: \(B\cdot C=0\) (sí son perpendiculares).
Resultado final: Los planos con normales \(B\) y \(C\) son perpendiculares; los pares \((A,B)\) y \((A,C)\) no.