Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 61 – Resuelto 0

Pregunta 1a) La familia López tiene 480 hectáreas donde se puede sembrar maíz o trigo. Dispone de 800 horas para la siembra. La utilidad por hectárea es $40 para maíz y $30 para trigo; el trabajo por hectárea es 2 horas para maíz y 1 hora para trigo. ¿Cuántas hectáreas de cada producto se debe sembrar para maximizar la utilidad?

Respuesta:
Paso 1: Definir variables y fórmula.
Sea \(x=\) hectáreas de maíz, \(y=\) hectáreas de trigo. Función objetivo: \(Z=40x+30y\). Restricciones: \(x+y\le 480\), \(2x+y\le 800\), \(x\ge0,\ y\ge0\).
Paso 2: Encontrar vértices de la región factible.
Intersección de \(x+y=480\) y \(2x+y=800\): restamos las ecuaciones.
\( (2x+y)-(x+y)=800-480 \Rightarrow 2x+y-x-y=320 \Rightarrow x=320\). (Aquí se canceló \(\cancel{y}\)).
Entonces \(y=480-320=160\).
Otros vértices factibles: donde una restricción corta un eje y la otra lo limita: (0,480) satisface ambas, y la intersección de \(2x+y=800\) con \(y=0\) da \(x=400\) que cumple \(x+y\le480\). Vértices: \((0,480),(320,160),(400,0)\).
Paso 3: Evaluar la función objetivo en cada vértice.
\(Z(0,480)=40\cdot0+30\cdot480=14400\).
\(Z(320,160)=40\cdot320+30\cdot160=12800+4800=17600\).
\(Z(400,0)=40\cdot400+30\cdot0=16000\).
Resultado final: Máximo en \((320,160)\). Por tanto sembrar 320 hectáreas de maíz y 160 hectáreas de trigo: \( \boxed{320\text{ ha de maíz y }160\text{ ha de trigo}} \).

Pregunta 1b) Una fábrica produce relojes digitales y análogos. Ingreso $400 por reloj digital y $700 por reloj análogo. En un día no se puede fabricar más de 300 relojes digitales y no se pueden producir más de 400 relojes en total. Si vende toda la producción, ¿cuál es el número de relojes de cada clase que conviene fabricar para obtener ingreso máximo?

Respuesta:
Paso 1: Definir variables y fórmula.
Sea \(d=\) relojes digitales, \(a=\) relojes análogos. Objetivo: \(Z=400d+700a\). Restricciones: \(d\le300\), \(d+a\le400\), \(d\ge0,\ a\ge0\).
Paso 2: Determinar vértices de la región factible.
Los vértices son: \((0,0),(0,400),(300,0),(300,100)\) (cuando \(d=300\) la restricción total da \(a\le100\)).
Paso 3: Evaluar la función objetivo en cada vértice.
\(Z(0,400)=400\cdot0+700\cdot400=280000\).
\(Z(300,0)=400\cdot300+700\cdot0=120000\).
\(Z(300,100)=400\cdot300+700\cdot100=120000+70000=190000\).
Resultado final: Máximo en \((0,400)\). Conviene fabricar 0 relojes digitales y 400 relojes análogos: \( \boxed{0\text{ digitales y }400\text{ análogos}} \).

Pregunta 1c) Vanessa dispone de 80 m² de algodón y 120 m² de lana. Un traje requiere 1 m² de algodón y 3 m² de lana; un vestido requiere 2 m² de cada tela. Si traje y vestido se venden al mismo precio, ¿cuántos trajes y vestidos debe confeccionar para maximizar beneficios?

Respuesta:
Paso 1: Definir variables y fórmula.
Sea \(T=\) número de trajes, \(V=\) número de vestidos. Como el precio es igual por unidad, maximizar beneficio equivale a maximizar el número total \(N=T+V\). Restricciones: algodón: \(1T+2V\le80\). Lana: \(3T+2V\le120\). \(T\ge0,\ V\ge0\).
Paso 2: Hallar vértices (resolver intersecciones).
Intersección de \(T+2V=80\) y \(3T+2V=120\): restamos las ecuaciones.
\( (3T+2V)-(T+2V)=120-80 \Rightarrow 2T+\cancel{2V}-\cancel{2V}=40 \Rightarrow T=20\).
Luego \(V=(80-20)/2=30\. Otros vértices: \((0,40),(20,30),(40,0)\) (al considerar cortes por ejes y restricciones).
Paso 3: Evaluar \(N=T+V\) en cada vértice.
\(N(0,40)=40\).
\(N(20,30)=50\).
\(N(40,0)=40\).
Resultado final: Máximo en \((20,30)\). Vanessa debe confeccionar 20 trajes y 30 vestidos: \( \boxed{20\text{ trajes y }30\text{ vestidos}} \).

Pregunta 2a) En un sector se construirán casas de tipo A y B. La constructora dispone de $1\,800\,000; costo de A es $30\,000 y de B $20\,000. El municipio exige que el número total no supere 80. El beneficio por venta es $3\,000 para A y $4\,000 para B. ¿Cuántas casas A deben construirse para obtener el máximo beneficio?

Respuesta:
Paso 1: Definir variables y fórmula.
Sea \(x=\) número de casas A, \(y=\) número de casas B. Objetivo: maximizar beneficio \(P=3000x+4000y\). Restricciones: presupuesto \(30000x+20000y\le1800000\) y total \(x+y\le80\). \(x\ge0,\ y\ge0\).
Paso 2: Simplificar la restricción de presupuesto (dividir por 10000).
Queda \(3x+2y\le180\). La otra es \(x+y\le80\).
Paso 3: Hallar vértices resolviendo ecuaciones activas.
Intersección de \(3x+2y=180\) y \(x+y=80\): sustituimos \(y=80-x\) en la primera.
\(3x+2(80-x)=180\Rightarrow 3x+160-2x=180\Rightarrow x=20\). (Se cancelan términos al reordenar: \(3x-2x= x\)).
Entonces \(y=80-20=60\). Otros vértices relevantes: \((0,80)\) (todo B) y \((60,0)\) (todo A según presupuesto).
Paso 4: Evaluar la función objetivo en los vértices.
\(P(0,80)=3000\cdot0+4000\cdot80=320000\).
\(P(20,60)=3000\cdot20+4000\cdot60=60000+240000=300000\).
\(P(60,0)=3000\cdot60+4000\cdot0=180000\).
Resultado final: El máximo beneficio ocurre en \((0,80)\), es decir construir 0 casas A y 80 casas B. Por tanto deben construirse \( \boxed{0\text{ casas A}} \).