Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 76 – Resuelto 0

Pregunta 1) Una fábrica tiene tres máquinas A, B y C. Se sabe: A produce 5% defectuosas, B 8%, C 3%. Calcular la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea defectuosa. Si se selecciona una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina A? (Si no se indica, asumimos que las máquinas producen la misma proporción: P(A)=P(B)=P(C)=1/3).

Respuesta:
Paso 1: Regla: probabilidad total: \(P(D)=\sum_{i}P(M_i)P(D\mid M_i)\). Bayes: \(P(A\mid D)=\dfrac{P(A)P(D\mid A)}{P(D)}\).
Paso 2: Asumimos \(P(A)=P(B)=P(C)=1/3\). Calculo de \(P(D)\):
\(P(D)=\dfrac{1}{3}(0.05)+\dfrac{1}{3}(0.08)+\dfrac{1}{3}(0.03) = \dfrac{1}{3}(0.05+0.08+0.03)\).
Paso 3: Suma interior: \(0.05+0.08+0.03=0.16\). Entonces
\(P(D)=\dfrac{1}{3}\cdot 0.16=0.053333\ldots = \dfrac{4}{75}\approx 5.333\%\).
Paso 4: Calculo de \(P(A\mid D)\) por Bayes:
Numerador: \(P(A)P(D\mid A)=\dfrac{1}{3}\cdot 0.05=\dfrac{5}{300}=\dfrac{1}{60}\).
Denominador: ya hallado \(P(D)=\dfrac{4}{75}\).
\(P(A\mid D)=\dfrac{\dfrac{1}{60}}{\dfrac{4}{75}} = \dfrac{1}{60}\cdot\dfrac{75}{4} = \dfrac{75}{240} = \dfrac{5}{16}=0.3125\).
Resultado final: \(\boxed{P(\text{defectuosa})=\dfrac{4}{75}\approx0.05333\, (5.333\%),\ \ P(A\mid\text{def})=\dfrac{5}{16}\approx0.3125\, (31.25\%)}\)

Pregunta 2) Datos: Horas estudio X: 2,3,4,5,6,7. Calificación Y: 6.5,7.0,7.5,8.0,8.5,9.0. a) Graficar para visualizar la relación. b) Calcular pendiente e intersección. c) Usar mínimos cuadrados para hallar la ecuación que relaciona las variables.

Respuesta:
Paso 1: Regla: usamos las fórmulas
$$m=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2-(\sum x)^2},\quad b=\frac{\sum y-m\sum x}{n}.$$
Paso 2: Construir sumas necesarias: n=6.
\(\sum x=2+3+4+5+6+7=27\).
\(\sum y=6.5+7.0+7.5+8.0+8.5+9.0=46.5\).
\(\sum x^2=2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=4+9+16+25+36+49=139\).
\(\sum xy=2\cdot6.5+3\cdot7.0+4\cdot7.5+5\cdot8.0+6\cdot8.5+7\cdot9.0=13+21+30+40+51+63=218\).
Paso 3: Sustituir en la fórmula de la pendiente:
Numerador: \(n\sum xy-(\sum x)(\sum y)=6\cdot218-27\cdot46.5=1308-1255.5=52.5\).
Denominador: \(n\sum x^2-(\sum x)^2=6\cdot139-27^2=834-729=105\).
Entonces \(m=\dfrac{52.5}{105}\). Notar que \(52.5=\dfrac{105}{2}\), así
$$m=\frac{105/2}{105}=\frac{105}{2}\cdot\frac{1}{105}=\frac{\cancel{105}}{2}\cdot\frac{1}{\cancel{105}}=\frac{1}{2}=0.5.$$
Paso 4: Calcular la ordenada al origen \(b\):
\(b=\dfrac{\sum y-m\sum x}{n}=\dfrac{46.5-0.5\cdot27}{6}=\dfrac{46.5-13.5}{6}=\dfrac{33}{6}=5.5\).
Paso 5: Observación gráfica: al graficar los puntos (2,6.5),(3,7.0),…,(7,9.0) se aprecia una recta exacta porque los incrementos son constantes; la recta encontrada pasa por todos los puntos.
Resultado final: \(\boxed{m=0.5,\ \ b=5.5,\ \ y=0.5x+5.5}\)