Página 142 - ejercicios
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MATEMÁTICA Educación General Básica – Subnivel Superior 10 Décimo de Básica – Pág 142 – Resuelto 0
Aplicación de Trigonometría en Áreas y Volúmenes
La resolución de problemas geométricos mediante el uso de ángulos y distancias es fundamental en la trigonometría. Cuando trabajamos con triángulos rectángulos o figuras compuestas, podemos calcular longitudes desconocidas utilizando razones trigonométricas como el seno, coseno y tangente. Estas herramientas permiten determinar alturas, profundidades o distancias inaccesibles mediante la modelización matemática.
Para calcular el área de figuras planas, a menudo necesitamos descomponer la forma en triángulos o usar las medidas proporcionadas por los ángulos de elevación o depresión. En el caso del volumen, extendemos estos conceptos a tres dimensiones, donde la altura del cuerpo sólido suele depender de la relación trigonométrica establecida en su base o perfil.
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 142.
Ejercicio 10
Pregunta: Ubico las medidas necesarias en el siguiente gráfico y formulo dos problemas de áreas y volúmenes que se resuelvan utilizando el gráfico adjunto.
Respuesta: Considerando un gráfico con un triángulo rectángulo de base 10 cm y ángulo de elevación de 30 grados, los problemas propuestos son:
Problema de Área: Calcular el área del triángulo si la base mide 10 cm y el ángulo adyacente es de 30 grados. Para resolverlo, calculamos la altura (h) usando la tangente: tan(30) = h/10. Entonces, h = 10 * tan(30) = 10 * 0.577 = 5.77 cm. El área es (base * altura) / 2 = (10 * 5.77) / 2 = 28.85 cm2.
Problema de Volumen: Calcular el volumen de una pirámide cuya base es el triángulo anterior y cuya altura perpendicular es de 15 cm. Usamos la fórmula V = (Area_base * altura_piramide) / 3. Entonces, V = (28.85 * 15) / 3 = 144.25 cm3.
Reto: Modificación de ángulos
Pregunta: Modifico dos de los ángulos del problema y calculo la nueva distancia.
Respuesta: Si el ángulo original de 30 grados se aumenta a 45 grados y la base de 10 cm se mantiene, la nueva altura es h = 10 * tan(45) = 10 * 1 = 10 cm. La nueva distancia (hipotenusa) es d = 10 / cos(45) = 10 / 0.707 = 14.14 cm.
Pregunta de Metacognición
Pregunta: ¿Qué pasa si los ángulos aumentan?
Respuesta: Si los ángulos de elevación aumentan (acercándose a 90 grados), la altura del objeto aumenta proporcionalmente mientras que la proyección horizontal disminuye, hasta que la figura se vuelve vertical.
Preguntas de Metacognición:
- ¿Qué he aprendido?: He aprendido a relacionar funciones trigonométricas con el cálculo de áreas y volúmenes.
- ¿Cómo lo he aprendido?: Mediante la aplicación práctica de razones trigonométricas en problemas geométricos.
- ¿Para qué me ha servido?: Para resolver problemas de medidas inaccesibles en objetos tridimensionales.
- ¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?: En arquitectura, topografía y construcción.
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 142.:
