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MATEMÁTICA Educación General Básica – Subnivel Superior 10 Décimo de Básica – Pág 165 – Resuelto 0
Notas sobre Geometría y Trigonometría
En el estudio de la geometría plana y la trigonometría para décimo grado, es fundamental comprender las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Uno de los teoremas más importantes es el Teorema de Pitágoras, que establece una relación constante en todos los triángulos rectángulos.
Teorema de Pitágoras
Para cualquier triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c, se cumple la siguiente igualdad:
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
Donde c es siempre el lado opuesto al ángulo recto (de 90 grados). Este teorema permite calcular la longitud de un lado desconocido si se conocen los otros dos.
Razones Trigonométricas Básicas
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas relacionan las medidas de sus lados en función de un ángulo agudo θ:
- Seno: El seno de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. $$ \sin(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} $$
- Coseno: El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. $$ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} $$
- Tangente: La tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. $$ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} $$
Dominar estas identidades es la base para resolver problemas más complejos en física, arquitectura e ingeniería.
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 165.
Ejercicio 1
Pregunta: Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm.
Respuesta: Aplicando el Teorema de Pitágoras: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ $$ 3^2 + 4^2 = c^2 $$ $$ 9 + 16 = c^2 $$ $$ 25 = c^2 $$ $$ c = \sqrt{25} $$ $$ \boxed{c = 5 \text{ cm}} $$
Ejercicio 2
Pregunta: Si en un triángulo rectángulo el ángulo θ tiene un cateto opuesto de 3 y un cateto adyacente de 4, ¿cuál es el valor de la tangente de θ?
Respuesta: La tangente se define como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente: $$ \tan(\theta) = \frac{3}{4} = \boxed{0.75} $$
Ejercicio 3
Pregunta: ¿Cuál es el valor del seno de un ángulo cuya hipotenusa es 10 y su cateto opuesto es 5?
Respuesta: El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa: $$ \sin(\theta) = \frac{5}{10} = \boxed{0.5} $$
Ejercicio 4
Pregunta: Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?
Respuesta: Usando el Teorema de Pitágoras: $$ 5^2 + b^2 = 13^2 $$ $$ 25 + b^2 = 169 $$ $$ b^2 = 169 – 25 $$ $$ b^2 = 144 $$ $$ b = \sqrt{144} $$ $$ \boxed{b = 12 \text{ cm}} $$
Ejercicio 5
Pregunta: ¿Cuál es el coseno de un ángulo en un triángulo donde el cateto adyacente mide 8 y la hipotenusa mide 10?
Respuesta: El coseno se define como el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa: $$ \cos(\theta) = \frac{8}{10} = \boxed{0.8} $$
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 165.:
