MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 160 – Resuelto 0

Pregunta 1) Determino una situación y formulo un problema que use métodos de conteo y las leyes de De Morgan.

Respuesta:
Paso 1: Regla/Fórmula que aplica: usar conteo por combinaciones y la ley de De Morgan para trabajar con complementos.
Paso 2: Situación: Tengo una bolsa con 5 bolas rojas, 4 bolas azules y 3 bolas verdes (en total 12).
Paso 3: Problema formulado: Se extraen 2 bolas sin reemplazo. Sea A el evento “al menos una bola roja” y B el evento “las dos bolas son del mismo color”. Calcular la probabilidad de \(A\cup B\) (es decir, que ocurra A o B).

Pregunta 2) Resuelvo el problema formulado (calcular \(P(A\cup B)\)) y verifico la respuesta usando De Morgan.

Respuesta:
Paso 1: Reglas/Formulas que aplican: $$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad P(E)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$$
y la ley de De Morgan: $$(A\cup B)’=A’\cap B’\Rightarrow P(A\cup B)=1-P(A’\cap B’).”
Paso 2: Calculo el número total de resultados posibles al sacar 2 bolas: $$\text{Total}=C(12,2)=\frac{12\cdot11}{2}=66.$$
Paso 3: Calculo \(P(A)\), probabilidad de “al menos una roja”: usar complemento “ninguna roja”. Hay 4 azules + 3 verdes = 7 no rojas, entonces casos sin rojas: $$C(7,2)=21.$$
Así $$P(A)=1-\frac{21}{66}=\frac{45}{66}.$$
Paso 4: Calculo \(P(B)\), probabilidad de “ambas del mismo color”:
– dos rojas: $$C(5,2)=10.$$
– dos azules: $$C(4,2)=6.$$
– dos verdes: $$C(3,2)=3.$$
Casos favorables totales para B: $$10+6+3=19\Rightarrow P(B)=\frac{19}{66}.$$
Paso 5: Calculo \(P(A\cap B)\). Intersección: eventos que son ambas del mismo color y además al menos una roja: eso ocurre solo cuando son dos rojas, que son 10 casos. Entonces $$P(A\cap B)=\frac{10}{66}.$$
Paso 6: Uso la fórmula de la unión: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{45}{66}+\frac{19}{66}-\frac{10}{66}=\frac{54}{66}.$$
Paso 7: Simplifico la fracción: $$\frac{54}{66}=\frac{\cancel{6}9}{\cancel{6}11}=\frac{9}{11}.$$
Resultado final: \( \boxed{\tfrac{9}{11}}\).

Verificación usando De Morgan:
Paso 1: Aplicar De Morgan: $$P(A\cup B)=1-P(A’\cap B’).$$
Paso 2: Identifico A’ = “ninguna roja” (21 casos) y B’ = “no ambas del mismo color” (es decir, las dos de distinto color). Para A’\cap B’ debemos contar resultados sin rojas y de colores distintos: una azul y una verde. Casos: \(4\times3=12\) (o \(C(4,1)C(3,1)=12\)).
Paso 3: Entonces $$P(A’\cap B’)=\frac{12}{66}$$ y $$P(A\cup B)=1-\frac{12}{66}=\frac{54}{66}=\frac{9}{11}.$$
Resultado verificado: \( \boxed{\tfrac{9}{11}}\).

Pregunta 3) Redacto el guion del video: completo el párrafo dado y explico brevemente la solución para el público.

Respuesta:
Paso 1: Texto completado del guion (continúa el párrafo):
¡Hola, queridos matemáticos! El día de hoy veremos cómo se solucionan problemas relacionados a la probabilidad.
¿Sabes qué es la probabilidad?… La probabilidad es la representación numérica de la posibilidad de que ocurra o no un evento determinado.
Para que entiendas mejor de qué se trata vamos a resolver el siguiente problema.
Imaginemos una bolsa con 5 bolas rojas, 4 azules y 3 verdes. Sacamos 2 bolas sin reemplazo. Queremos calcular la probabilidad de que ocurra al menos una roja o que las dos sean del mismo color (evento A union B).
Primero contamos todos los pares posibles: hay \(C(12,2)=66\) pares. Para “al menos una roja” usamos el complemento: calculamos la probabilidad de que no salga ninguna roja y restamos de 1. Para “ambas del mismo color” sumamos los pares de cada color. Finalmente aplicamos la fórmula de la unión: sumamos las probabilidades de los eventos y restamos su intersección (que aquí es “dos rojas”).
Si preferimos usar las leyes de De Morgan, expresamos la unión como complemento de la intersección de complementos: \((A\cup B)’=A’\cap B’\) y calculamos directamente cuántos pares no cumplen ni A ni B; luego restamos esa probabilidad de 1. En ambos métodos obtenemos el mismo resultado: \(\tfrac{9}{11}\).
Paso 2: Mensaje final para el video: Resumen paso a paso y conclusión clara para el público: contamos, usamos complementos y De Morgan para simplificar, y así llegamos a la respuesta final \(\boxed{\tfrac{9}{11}}\).