MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 84 – Resuelto 0

Pregunta 6) María lee 8 páginas más que Julián cada día. Después de leer el mismo número de días, María ha leído 76 páginas y Julián 28. ¿Cuántas páginas lee diariamente Julián?

Respuesta:
Paso 1: Regla: Si Julián lee j páginas por día y leen n días, entonces Julián lee \(jn=28\) y María lee \((j+8)n=76\).
Paso 2: Divido las dos ecuaciones para eliminar \(n\): \(\dfrac{(j+8)n}{jn}=\dfrac{76}{28}\).
Paso 3: Simplifico la fracción: \(\dfrac{j+8}{j}=\dfrac{76}{28}=\dfrac{19}{7}\).
Paso 4: Resuelvo la ecuación resultante: \(7(j+8)=19j\).
Paso 5: Desarrollo y despejo: \(7j+56=19j\)
Paso 6: \(56=19j-7j=12j\).
Paso 7: \(j=\dfrac{56}{12}=\dfrac{224}{48}=\dfrac{\cancel{224}^{\div16}}{\cancel{48}^{\div16}}=\dfrac{14}{3}\) páginas por día.
Resultado final: \( \boxed{\dfrac{14}{3}}\)

Pregunta 7) Resuelvo la siguiente inecuación y expreso la respuesta como intervalo: \(x-\tfrac{1}{2}<6+\tfrac{7x}{9}\)

Respuesta:
Paso 1: Regla: Opero con términos semejantes y uso que multiplicar por número positivo no cambia la dirección de la desigualdad.
Paso 2: Paso \(\tfrac{7x}{9}\) al primer miembro: \(x-\tfrac{7x}{9}-\tfrac{1}{2}<6\).
Paso 3: \(x-\tfrac{7x}{9}=\left(1-\tfrac{7}{9}\right)x=\tfrac{2}{9}x\).
Paso 4: Entonces \(\tfrac{2}{9}x-\tfrac{1}{2}<6\).
Paso 5: Sumando \(\tfrac{1}{2}\) a ambos lados: \(\tfrac{2}{9}x<6+\tfrac{1}{2}=\tfrac{12}{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{13}{2}\).
Paso 6: Multiplico por \(\tfrac{9}{2}\) (positivo) para despejar \(x\): \(x<\tfrac{13}{2}\cdot\tfrac{9}{2}=\tfrac{117}{4}\).
Resultado final (intervalo): \( \boxed{\left(-\infty,\,\tfrac{117}{4}\right)}\)

Pregunta 8) Racionalizo la siguiente expresión: \(\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\).

Respuesta:
Paso 1: Regla del conjugado: Multiplicar numerador y denominador por \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) para eliminar raíces en el denominador.
Paso 2: Multiplico: \(\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}\).
Paso 3: El denominador es diferencia de cuadrados: \((\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2\).
Paso 4: Queda \(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\).
Resultado final: \( \boxed{\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}}\)

Pregunta 9) La luz recorre \(1{,}08\times10^{5}\) km en una hora. ¿Cuánto se demora en llegar una onda-partícula de luz desde el Sol a la Tierra, si la distancia es \(1{,}47\times10^{11}\) m? Expreso la respuesta en segundos y en notación científica.

Respuesta:
Paso 1: Regla: \(\text{tiempo}=\dfrac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}\). Convierte unidades a metros y segundos.
Paso 2: Velocidad dada: \(1{,}08\times10^{5}\) km/h = \(1{,}08\times10^{5}\cdot 10^{3}\) m/h = \(1{,}08\times10^{8}\) m/h.
Paso 3: Paso a m/s: \(1\ \text{h}=3600\ \text{s}\), entonces \(v=\dfrac{1{,}08\times10^{8}}{3600}\ \text{m/s}=\dfrac{1{,}08\times10^{8}}{3{,}6\times10^{3}}\).
Paso 4: Simplifico potencias: \(v=\dfrac{1{,}08}{3{,}6}\times10^{8-3}=0{,}30\times10^{5}=3{,}0\times10^{4}\ \text{m/s}\).
Paso 5: Tiempo: \(t=\dfrac{1{,}47\times10^{11}}{3{,}0\times10^{4}}=\dfrac{1{,}47}{3{,}0}\times10^{11-4}=0{,}49\times10^{7}=4{,}9\times10^{6}\ \text{s}\).
Paso 6: En segundos es \(4\,900\,000\ \text{s}\) y en notación científica \(4{,}9\times10^{6}\ \text{s}\).
Resultado final: \( \boxed{4{,}9\times10^{6}\ \text{s}}\)

Pregunta 10) Racionalizo / simplifico la siguiente expresión: \(\left\{x^{1}\left[ x\bigl(x^{3}\bigr)^{\tfrac{1}{2}}\right]^{\tfrac{1}{5}}\right\}^{-4}\).

Respuesta:
Paso 1: Reglas de potencias: \((a^m)^n=a^{mn}\) y \(a^p a^q=a^{p+q}\).
Paso 2: Calculo interior: \((x^{3})^{\tfrac{1}{2}}=x^{\tfrac{3}{2}}\).
Paso 3: Entonces \(x\cdot x^{\tfrac{3}{2}}=x^{1+\tfrac{3}{2}}=x^{\tfrac{5}{2}}\).
Paso 4: Ahora \(\left(x^{\tfrac{5}{2}}\right)^{\tfrac{1}{5}}=x^{\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{1}{5}}=x^{\tfrac{1}{2}}\).
Paso 5: Multiplico por el \(x^{1}\) que estaba fuera: \(x^{1}\cdot x^{\tfrac{1}{2}}=x^{1+\tfrac{1}{2}}=x^{\tfrac{3}{2}}\).
Paso 6: Aplico el exponente final \((-4)\): \(\left(x^{\tfrac{3}{2}}\right)^{-4}=x^{\tfrac{3}{2}\cdot(-4)}=x^{-6}=\dfrac{1}{x^{6}}\).
Resultado final: \( \boxed{\dfrac{1}{x^{6}}}\)