MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 93 – Resuelto 0

Pregunta 1) El volumen de un cilindro, si se conoce que el diámetro es las dos terceras partes de su altura.

Respuesta:
Paso 1: Regla (volumen de un cilindro): $$V=\pi r^2 h$$
Paso 2: Relaciono diámetro y radio. Si el diámetro es las dos terceras partes de la altura: \(d=\tfrac{2}{3}h\). El radio es \(r=\tfrac{d}{2}\).
Paso 3: Sustituyo \(d\) en \(r\): \(r=\frac{1}{2}\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}h=\frac{1}{3}h\). Se puede mostrar la cancelación: \(r=\frac{1}{2}\cdot \frac{\cancel{2}}{3}h=\frac{\cancel{1}}{3}h\) (equivalente a \(\frac{1}{3}h\)).
Paso 4: Sustituyo en la fórmula del volumen: \(V=\pi\left(\frac{1}{3}h\right)^2 h=\pi\cdot \frac{1}{9}h^2\cdot h=\pi\cdot \frac{1}{9}h^3\).
Resultado final: \( \boxed{V(h)=\dfrac{\pi}{9}\,h^3} \)

Pregunta 2) La longitud de la diagonal de un terreno rectangular, si uno de sus lados es 25 unidades menor que el otro lado.

Respuesta:
Paso 1: Regla (teorema de Pitágoras): Para un rectángulo con lados \(a\) y \(b\), la diagonal \(d\) cumple \(d=\sqrt{a^2+b^2}\).
Paso 2: Sea el lado mayor \(x\). Entonces el otro lado es \(x-25\).
Paso 3: Aplico Pitágoras: \(d(x)=\sqrt{x^2+(x-25)^2}\).
Paso 4: Desarrollo el cuadrado: \((x-25)^2=x^2-50x+625\).
Paso 5: Sumo dentro de la raíz: \(d(x)=\sqrt{x^2 + x^2 -50x +625}=\sqrt{2x^2-50x+625}\).
Resultado final: \( \boxed{d(x)=\sqrt{2x^2-50x+625}} \)

Pregunta 3) El volumen de una caja en forma de prisma rectangular, si sus lados están en relación 2 : 3 : 5.

Respuesta:
Paso 1: Regla (volumen de prisma rectangular): \(V= a\cdot b\cdot c\).
Paso 2: Si los lados están en relación \(2:3:5\), tomo una constante de proporcionalidad \(k\) y escribo los lados como \(2k,\;3k,\;5k\).
Paso 3: Calculo el volumen en función de \(k\): \(V(k)=(2k)(3k)(5k)=30k^3\).
Paso 4: Si se desea expresar en función del lado más corto \(a\), donde \(a=2k\), entonces \(k=\tfrac{a}{2}\) y
\(V=30\left(\tfrac{a}{2}\right)^3=30\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{30}{8}a^3=\frac{15}{4}a^3\).
Resultado final: \( \boxed{V=30\,k^3\quad\text{o}\quad V=\dfrac{15}{4}a^3\;\text{(si }a\text{ es el lado más corto)}} \)

Pregunta 4) Realizo la gráfica de la siguiente relación dada por la tabla: x = -2, -1, 0, 1, 1, 3; y = -5, -1, 1, 5, 7, 9.

Respuesta:
Paso 1: Regla (definición de función/relación y puntos en el plano): Cada par \((x,y)\) se representa como un punto. Es función si a cada \(x\) corresponde UN solo \(y\).
Paso 2: Escribo los pares ordenados: \((-2,-5),\;(-1,-1),\;(0,1),\;(1,5),\;(1,7),\;(3,9)\).
Paso 3: Observo que el valor \(x=1\) aparece dos veces con \(y=5\) y \(y=7\). Esto significa que a un mismo \(x\) le corresponden dos \(y\) distintos.
Paso 4: Conclusión: como está dada, la relación NO es una función (porque el mismo \(x\) tiene dos imágenes diferentes). Si se grafica, se dibujan los seis puntos indicados en el plano.
Resultado final: \( \boxed{\text{Relación (no función): puntos }(-2,-5),(-1,-1),(0,1),(1,5),(1,7),(3,9)} \)

Pregunta 5) Realizo la gráfica de la función \(f(x)=\dfrac{7x}{2}+\dfrac{9}{8}\).

Respuesta:
Paso 1: Regla (forma pendiente-intersección): \(f(x)=mx+b\) donde \(m\) es la pendiente y \(b\) la ordenada al origen.

Paso 2: Identifico pendiente e intersección: \(m=\dfrac{7}{2},\; b=\dfrac{9}{8}\). Esto significa que la recta sube \(7\) unidades por cada avance de \(2\) en \(x\), y corta el eje \(y\) en \(\dfrac{9}{8}\).
Paso 3: Calculo algunos puntos para graficar (tabla de valores):
Para \(x=0\): \(f(0)=\dfrac{7\cdot 0}{2}+\dfrac{9}{8}=\dfrac{9}{8}\) => punto \((0,\tfrac{9}{8})\).
Para \(x=1\): \(f(1)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{9}{8}=\dfrac{28}{8}+\dfrac{9}{8}=\dfrac{37}{8}\) => punto \((1,\tfrac{37}{8})\).
Para \(x=-1\): \(f(-1)=\dfrac{7(-1)}{2}+\dfrac{9}{8}= -\dfrac{7}{2}+\dfrac{9}{8}=-\dfrac{28}{8}+\dfrac{9}{8}=-\dfrac{19}{8}\) => punto \((-1,-\tfrac{19}{8})\).
Paso 4: Con estos tres puntos se traza la recta. La función es lineal y no presenta ambigüedad: a cada \(x\) le corresponde un único \(y\).
Resultado final: \( \boxed{f(x)=\dfrac{7}{2}x+\dfrac{9}{8},\;\text{puntos de referencia }(0,\tfrac{9}{8}),(1,\tfrac{37}{8}),(-1,-\tfrac{19}{8})} \)