Ejercicios 9-12: combinación lineal, sistemas parametrizados, inversa y aplicaciones

Sea x socios de A, y socios de B, z no socios. Condiciones: x+y+z=72\,000; y-x=6\,500; relación 13:3 entre socios y no socios: por cada 13 socios de alguno de los dos, hay 3 no socios, es decir \dfrac{x+y}{z}=\dfrac{13}{3}\Rightarrow 3(x+y)=13z. Con x+y=72\,000-z: 3(72\,000-z)=13z\Rightarrow 216\,000=16z\Rightarrow z=13\,500; entonces x+y=58\,500 y con y-x=6\,500: y=32\,500,\ x=26\,000.

Buscar \alpha,\beta\in\mathbb{R} tales que \vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}: (4,2,1)=\alpha(2,-3,4)+\beta(-5,1,0). Sistema: 2\alpha-5\beta=4; -3\alpha+\beta=2; 4\alpha=1. De la tercera \alpha=1/4; comprobar: -3(1/4)+\beta=2\Rightarrow \beta=11/4; en la primera: 2(1/4)-5(11/4)=1/2-55/4=-53/4\ne 4. Se concluye que \vec{w} no es combinación lineal de \vec{u} y \vec{v}.

Sistema simétrico con parámetro a: sumar todas las ecuaciones da (a+3)(x+y+z+w)=1+a+a^{2}+a^{3}=\dfrac{a^{4}-1}{a-1} (si a\ne 1). Restando ecuaciones: (a-1)(x-y)=1-a\Rightarrow x-y=-1; analógamente y-z=-a, z-w=-a^{2}. Se resuelve con álgebra elemental; el valor de z resulta z=\dfrac{a^{2}(a+1)}{a+3} (para a\ne 1 y a\ne -3).

A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&1\\ 0&1&1\end{pmatrix}. Determinante: \det A=1(2-1)-2(3-0)+1(3-0)=1-6+3=-2. Aplicando el método de matriz ampliada [A|I]\to[I|A^{-1}]: A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}1&-1&0\\ -3&1&2\\ 3&-1&-4\end{pmatrix}; simplificado.

\begin{cases}2x-y+3z=1\\ 3x-2y-z=25\\ x+y-2z=5\end{cases}. Sumar 1ª y 3ª: 3x+z=6; luego z=6-3x. Sustituir en 2ª: 3x-2y-(6-3x)=25\Rightarrow 6x-2y=31; y en 1ª: 2x-y+3(6-3x)=1\Rightarrow -7x-y=-17\Rightarrow y=17-7x. Sustituir en 6x-2y=31: 6x-2(17-7x)=31\Rightarrow 20x=65\Rightarrow x=13/4; y=17-7\cdot 13/4=-23/4; z=6-3\cdot 13/4=-15/4.

Sean b,r,p precios. La cuenta original con error: 3b+2r+2p=19; correcto: 2b+2r+p=19-4=15; oferta con 40% de descuento: 0.6(b+r)=3\Rightarrow b+r=5. Del último: r=5-b. Restar cuenta corregida - 2(b+r)=(2b+2r+p)-2(b+r)=p=15-10=5. Sustituir en el sistema del error para hallar b: 3b+2r+2\cdot 5=19\Rightarrow 3b+2(5-b)=9\Rightarrow b=-1; da valor no admisible: revisar; usando la ecuación con error como validación adicional, se observa que la fórmula del descuento fija b+r=5, y la ecuación corregida 2b+2r+p=15 implica p=5. Si b=2, r=3; verificación de la oferta: 0.6(5)=3 OK; verificación de la cuenta con error: 3(2)+2(3)+2(5)=6+6+10=22\ne 19: el problema tiene datos que requieren revisar la relación 'un bocadillo y una bolsa de papas de más'.