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Tema 4: Resolución de sistemas 3x3 (Sustitución, Cramer y Gauss)

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1a) $x_{1}=\tfrac{3}{2},\ x_{2}=-\tfrac{1}{2},\ x_{3}=\tfrac{1}{2}$ ; 1b) $x=-\tfrac{101}{16},\ y=-\tfrac{135}{16},\ z=-\tfrac{3}{4}$ ; 1c) $x=1,\ y=2,\ z=1$ ; 2a) familia de soluciones parametrizada por $z=t$ ; 2b) requiere término independiente completo.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 12

Matematica 1° · Bgu 1 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 1

a

Sistema: $-x_{1}+x_{2}=-2$ , $3x_{1}+3x_{3}=6$ , $3x_{1}-x_{3}=4$ . De la segunda: $x_{1}+x_{3}=2\Rightarrow x_{3}=2-x_{1}$ . Sustituir en la tercera: $3x_{1}-(2-x_{1})=4\Rightarrow 4x_{1}=6\Rightarrow x_{1}=\tfrac{3}{2}$ . Luego $x_{3}=\tfrac{1}{2}$ y de la primera $x_{2}=x_{1}-2=-\tfrac{1}{2}$ .

Ejercicio 1

b

Sistema: $x+y-z=-14$ , $x-3y+2z=16$ , $2x-2y-3z=5$ . De 1: $x=-14-y+z$ . Sustituir en 2: $(-14-y+z)-3y+2z=16\Rightarrow -14-4y+3z=16\Rightarrow -4y+3z=30$ . Sustituir en 3: $2(-14-y+z)-2y-3z=5\Rightarrow -28-4y-z=5\Rightarrow -4y-z=33$ . Restar: $4z=-3\Rightarrow z=-\tfrac{3}{4}$ . Entonces $-4y=33+\tfrac{3}{4}=\tfrac{135}{4}\Rightarrow y=-\tfrac{135}{16}$ . Y $x=-14-y+z=-14+\tfrac{135}{16}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{-224+135-12}{16}=-\tfrac{101}{16}$ .

Ejercicio 1

c

Sistema: $2x+y-z=3$ , $5x-y+2z=1$ , $x+2y-3z=-2$ . Sumar 1 y 2: $7x+z=4$ . De 1: $z=2x+y-3$ . Sustituir en 2: $5x-y+2(2x+y-3)=1\Rightarrow 9x+y=7$ . Sustituir en 3: $x+2y-3(2x+y-3)=-2\Rightarrow -5x-y=-11\Rightarrow 5x+y=11$ . Restar con $9x+y=7$ : $-4x=-4\Rightarrow x=1$ ; luego $y=2$ y $z=2\cdot 1+2-3=1$ .

Ejercicio 2

a

El sistema 2a tiene sólo 2 ecuaciones y 3 incógnitas: $x+y-z=-12$ ; $x-2y-3z=5$ . Se resuelve dejando una variable libre. Restar: $(x+y-z)-(x-2y-3z)=-12-5\Rightarrow 3y+2z=-17$ . Con $z=t$ : $y=\tfrac{-17-2t}{3}$ y $x=-12-y+z=-12-\tfrac{-17-2t}{3}+t=\tfrac{-36+17+2t+3t}{3}=\tfrac{5t-19}{3}$ . Familia paramétrica.

Ejercicio 2

b

Sistema (nota: el término independiente de la segunda ecuación está incompleto en el texto). Suponiendo $7x+3y-4z=b$ , se aplica la eliminación gaussiana a la matriz aumentada; se muestra el procedimiento genérico.

Contenido de la página

Tema 4: Sistemas 3x3 (Sustitución, Cramer y Gauss)

Pregunta: ¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

1. Resolver por sustitución

(a) $\begin{cases}-x_{1}+x_{2}=-2\\ 3x_{1}+3x_{3}=6\\ 3x_{1}-x_{3}=4\end{cases}$ (b) $\begin{cases}x+y-z=-14\\ x-3y+2z=16\\ 2x-2y-3z=5\end{cases}$ (c) $\begin{cases}2x+y-z=3\\ 5x-y+2z=1\\ x+2y-3z=-2\end{cases}$

2. Resolver por eliminación gaussiana

(a) $\begin{cases}x+y-z=-12\\ x-2y-3z=5\end{cases}$ (dos ecuaciones, tres incógnitas) (b) $\begin{cases}5x-2y+3z=6\\ 7x+3y-4z=?\\ 2x+4y+3z=5\end{cases}$

¿Sabías qué? El método de Cramer resuelve sistemas usando determinantes; solo aplica a sistemas cuadrados y con determinante distinto de cero.

METACOGNICIÓN

¿Qué he aprendido?
¿Cómo lo he aprendido?
¿Para qué me ha servido?
¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?

Fórmulas y ecuaciones

$\begin{cases}-x_{1}+x_{2}=-2\\ 3x_{1}+3x_{3}=6\\ 3x_{1}-x_{3}=4\end{cases}$

$\begin{cases}x+y-z=-14\\ x-3y+2z=16\\ 2x-2y-3z=5\end{cases}$

$\begin{cases}2x+y-z=3\\ 5x-y+2z=1\\ x+2y-3z=-2\end{cases}$

Glosario (3)

Sustitución: Método para resolver sistemas despejando una variable y sustituyendo en las demás ecuaciones.
Eliminación gaussiana: Procedimiento sobre la matriz aumentada para obtener forma escalonada.
Regla de Cramer: Método basado en determinantes para resolver sistemas cuadrados de rango pleno.

Preguntas para practicar

¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

Temas y conceptos clave

Sistemas 3x3SustituciónEliminación gaussianaSustituciónCramerGaussDeterminante

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Tema 4: Resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas por los metodos de: Sustitución, Cramer y Gauss

Responda la pregunta:

¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

Resuelvo los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

a) “xX, +X, = -2 3x, + 3X, = 6 3X,- X= 4 Xt y -Z = -14 b) Lx - By +22 = 16 2x -2y -3z =5 2x+y -2 = 3

al Sx -y +22=1

xX + 2y-3z = -2

Resuelvo los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación gaussiana:

a) x+y-2=-12 Xx -2y -32=53

Il a

SX - 2y + 3z b) 7x + 3y - 4z 2x. + 4y +32 =5

(0) / METACOGNICIÓN )

¿En qué otras ocasiones puedo usarlo? ¿Para qué me ha servido? ¿Cómo lo he aprendido?

¿Qué he aprendido?

¿Sabías qué?

La principal contribución de Cramer es que nos permite resolver sistemas de ecuaciones sin necesidad de realizar operaciones de eliminación o sustitución, como en otros métodos como Gauss-Jordan. En su lugar, utiliza determinantes para encontrar los valores de las variables.

El método de Cramer se basa en la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones y en los determinantes de las matrices obtenidas al reemplazar cada columna de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes. Al calcular estos determinantes, podemos encontrar los valores de las variables del sistema.

Es importante tener en cuenta que el método de Cramer solo es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones y variables. Además, si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, el sistema puede no tener solución o tener infinitas soluciones.

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