FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 169 – Resuelto 0

Pregunta a) Calculo el trabajo realizado por una fuerza de 1 000 N al desplazar el vagón a lo largo de la longitud total de la rampa de ascenso.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: trabajo de una fuerza constante en la dirección del desplazamiento: \(W=F\cdot s\).
Paso 2: Denotamos la longitud total de la rampa por \(s\). Aplicando la fórmula: \(W=1000\,\mathrm{N}\cdot s\).
Paso 3: Si se conoce el valor numérico de \(s\) se reemplaza para obtener joules. Por ejemplo, si \(s=10\,\mathrm{m}\) entonces \(W=1000\cdot10=10000\,\mathrm{J}\).
Resultado final: \(\boxed{W=1000\;s\;\mathrm{J}}\) (s en metros).

Pregunta b) ¿Qué potencia desarrollará el motor al ejercer la fuerza de 1 000 N si el ascenso se realiza a velocidad constante de 5 m/s?

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: potencia mecánica desarrollada por una fuerza que desplaza con velocidad constante: \(P=F\cdot v\).
Paso 2: Sustituyo los valores conocidos: \(P=1000\,\mathrm{N}\cdot 5\,\mathrm{m/s}=5000\,\mathrm{W}\).
Resultado final: \(\boxed{P=5000\ \mathrm{W}}\).

Pregunta c) Calculo la energía mecánica de un vagón en el punto más alto teniendo en cuenta que el ascenso se realiza a velocidad constante de 5 m/s. Deduzco aplicando el principio de conservación de la energía, ¿cuál será el valor máximo de la velocidad? ¿En qué punto se alcanza este valor?

Respuesta:
Paso 1: Fórmula usada: energía mecánica \(E=K+U=\tfrac{1}{2}mv^2+mgh\). Denotamos la masa por \(m\) y la altura del punto más alto por \(H\). La velocidad en ese punto es \(v_0=5\,\mathrm{m/s}\).
Paso 2: Calculo la energía cinética en ese punto: \(K=\tfrac{1}{2}m v_0^2=\tfrac{1}{2}m(5^2)=12.5\,m\) (J, con \(m\) en kg).
Paso 3: La energía potencial en el punto más alto: \(U=m g H\).
Paso 4: Energía mecánica total en lo alto: \(E_{\text{alto}}=12.5\,m + m g H = m(12.5 + gH)\).
Paso 5: Para hallar la velocidad máxima usamos conservación de la energía. Si toda la energía mecánica del punto alto se transforma en energía cinética en el punto más bajo (altura de referencia cero), entonces
$$\tfrac{1}{2}m v_{\max}^2 = E_{\text{alto}} = \tfrac{1}{2}m v_0^2 + m g H.$$
Paso 6: Divido por \(m\) (se puede mostrar la cancelación): \(\tfrac{1}{2}\cancel{m} v_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}\cancel{m} v_0^2 + \cancel{m} g H\).
Paso 7: Simplifico y despejo \(v_{\max}\): \(\tfrac{1}{2} v_{\max}^2 = \tfrac{1}{2} v_0^2 + gH\) \(\Rightarrow v_{\max}^2 = v_0^2 + 2gH\).
Resultado final: \(\boxed{v_{\max}=\sqrt{v_0^2+2gH}=\sqrt{25+2gH}}\).
Punto donde se alcanza: en el punto más bajo del recorrido (altura mínima), donde la energía potencial es mínima y la cinética máxima.

Pregunta d) Calculo los valores de la energía cinética y la energía potencial en lo alto del rizo. ¿Cuál será la velocidad en este punto?

Respuesta:
Paso 1: Notación y regla: llamamos \(h_r\) a la altura del punto más alto del rizo (medida desde la misma referencia de altura usada antes). La energía mecánica total inicial en lo alto de la rampa es \(E_{\text{alto}}=\tfrac{1}{2}m v_0^2 + m g H\) (ver parte c).
Paso 2: Energía potencial en lo alto del rizo: \(U_{r}=m g h_r\).
Paso 3: Energía cinética en lo alto del rizo por conservación de la energía: \(K_{r}=E_{\text{alto}}-U_{r}=\tfrac{1}{2}m v_0^2 + m g(H-h_r)\).
Paso 4: Para la velocidad en lo alto del rizo usamos \(K_r=\tfrac{1}{2}m v_r^2\). Igualando y dividiendo por \(m\) (muestro cancelación): \(\tfrac{1}{2}\cancel{m} v_r^2 = \tfrac{1}{2}\cancel{m} v_0^2 + \cancel{m} g(H-h_r)\).
Paso 5: Despejo \(v_r\): \(\tfrac{1}{2} v_r^2 = \tfrac{1}{2} v_0^2 + g(H-h_r)\) \(\Rightarrow v_r^2 = v_0^2 + 2g(H-h_r)\).
Resultado final: \(\boxed{K_r=\tfrac{1}{2}m\big(v_0^2+2g(H-h_r)\big),\quad U_r=mgh_r,\quad v_r=\sqrt{v_0^2+2g(H-h_r)}}\).

Pregunta e) ¿Cuál será la velocidad al entrar al rizo?, ¿y al abandonarlo?

Respuesta:
Paso 1: Defino alturas: sea \(h_{\text{entrada}}\) la altura donde comienza el rizo (entrada) y \(h_{\text{salida}}\) la altura al salir del rizo. Usamos conservación de la energía entre el punto alto inicial (altura \(H\), velocidad \(v_0\)) y cada punto interesado.
Paso 2: Velocidad al entrar al rizo (altura \(h_{\text{entrada}}\)): \(\tfrac{1}{2}m v_{\text{entrada}}^2=E_{\text{alto}}-m g h_{\text{entrada}}\). Dividiendo por \(m\) y despejando:
\(v_{\text{entrada}}=\sqrt{v_0^2+2g(H-h_{\text{entrada}})}\).
Paso 3: Velocidad al abandonar el rizo (altura \(h_{\text{salida}}\)): similarmente
\(v_{\text{salida}}=\sqrt{v_0^2+2g(H-h_{\text{salida}})}\).
Paso 4: Observación didáctica: si la entrada y la salida están a la misma altura (p. ej. suelo), entonces \(v_{\text{entrada}}=v_{\text{salida}}=\sqrt{v_0^2+2gH}\). Si la salida es más alta, la velocidad al salir será menor, si es más baja será mayor. Además, para que el vagón no se caiga del rizo en su punto más alto, la velocidad en el punto alto del rizo debe ser suficiente para proporcionar la aceleración centrípeta requerida (no pedida aquí, pero importante en problemas reales).
Resultado final: \(\boxed{v_{\text{entrada}}=\sqrt{v_0^2+2g(H-h_{\text{entrada}})},\quad v_{\text{salida}}=\sqrt{v_0^2+2g(H-h_{\text{salida}})}}\).