FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 168 – Resuelto 0

Pregunta 1) Calcule la velocidad promedio del recorrido sabiendo que la longitud total es 600 m y el tiempo total 4 minutos.

Respuesta:
Paso 1: Fórmula de velocidad promedio: \(v_{prom} = \dfrac{distancia}{tiempo}\).
Paso 2: Convertir tiempo: 4 minutos = 240 s.
Paso 3: Aplicar la fórmula: \(v_{prom} = \dfrac{600\ \mathrm{m}}{240\ \mathrm{s}} = \dfrac{\cancel{600}}{\cancel{240}} = 2.5\ \mathrm{m/s}\).
Resultado final: \(\boxed{v_{prom}=2.5\ \mathrm{m/s} \approx 9.0\ \mathrm{km/h}}\)

Pregunta 2) Suponiendo que el vagón (4 personas) parte en reposo desde la cima de 120 m y no hay rozamiento, calcule la energía potencial en la cima y la velocidad máxima teórica al llegar al fondo (nivel 0).

Respuesta:
Paso 1: Suposición de masa: 4 personas × 70 kg/persona = \(m=280\ \mathrm{kg}\).
Paso 2: Energía potencial en la cima: \(U=mgh\).
Paso 3: Calcular numéricamente: \(U=280\cdot 9.8\cdot 120=280\cdot 1176=329280\ \mathrm{J}\).
Paso 4: Conservación de la energía (parte en reposo, sin rozamiento): \(mgh=\tfrac{1}{2}mv^2\).
Paso 5: Simplificar masa y despejar velocidad: \(v=\sqrt{2gh}\).
Paso 6: Sustituir: \(v=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot 120}=\sqrt{2352}=48.5\ \mathrm{m/s}\).
Paso 7: Convertir a km/h opcional: \(48.5\cdot 3.6\approx 174.6\ \mathrm{km/h}\).
Resultado final: \(\boxed{U=3.29\times10^{5}\ \mathrm{J},\quad v_{max}=48.5\ \mathrm{m/s}\ (\approx174.6\ \mathrm{km/h})}\)

Pregunta 3) En el lazo de radio \(R=20\ \mathrm{m}\) determine si el vagón mantiene contacto en la cima del lazo. Calcule la velocidad en la cima del lazo y compare con la velocidad mínima necesaria; calcule además la fuerza normal en la cima y en la base del lazo (aprox.).

Respuesta:
Paso 1: Altura de la cima del lazo (suponiendo la base en 0): \(h_{top\_lazo}=2R=40\ \mathrm{m}\).
Paso 2: Velocidad en la cima del lazo usando energía entre 120 m y 40 m: \(v_{top}=\sqrt{2g(120-40)}=\sqrt{2\cdot9.8\cdot80}=\sqrt{1568}=39.6\ \mathrm{m/s}\).
Paso 3: Velocidad mínima para no perder contacto en la cima: \(v_{min}=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8\cdot20}=\sqrt{196}=14.0\ \mathrm{m/s}\).
Paso 4: Comparación: \(39.6\ \mathrm{m/s} > 14.0\ \mathrm{m/s}\), por lo tanto mantiene contacto (con margen amplio).
Paso 5: Fuerza normal en la cima: equilibrio de fuerzas verticales hacia el centro del lazo: \(\dfrac{mv^2}{R}=mg+N_{top}\) (todas dirigidas hacia el centro en la cima). Despejar \(N_{top}=\dfrac{mv^2}{R}-mg\).
Paso 6: Cálculo numérico: \(\dfrac{v_{top}^2}{R}=\dfrac{1568}{20}=78.4\ \mathrm{m/s^2}\).
Paso 7: \(N_{top}=280\cdot(78.4-9.8)=280\cdot68.6=19208\ \mathrm{N}\ (\approx1.92\times10^{4}\ \mathrm{N})\).
Paso 8: Fuerza normal en la base del lazo (si la velocidad en la base es la máxima calculada antes): velocidad en la base del lazo si la base está a 0 m: \(v_{base}=\sqrt{2g\cdot120}=48.5\ \mathrm{m/s}\).
Paso 9: Centripetal aceleración en la base: \(\dfrac{v_{base}^2}{R}=\dfrac{2352}{20}=117.6\ \mathrm{m/s^2}\).
Paso 10: Fuerza normal en la base: \(N_{base}=m\left(\dfrac{v_{base}^2}{R}+g\right)=280\cdot(117.6+9.8)=280\cdot127.4=35672\ \mathrm{N}\ (\approx3.57\times10^{4}\ \mathrm{N})\).
Resultado final: \(\boxed{v_{top}=39.6\ \mathrm{m/s},\ v_{min}=14.0\ \mathrm{m/s};\ N_{top}\approx1.92\times10^{4}\ \mathrm{N},\ N_{base}\approx3.57\times10^{4}\ \mathrm{N}}\)

Pregunta 4) ¿Cuál es la energía que debe aportar el motor para subir el vagón hasta 35 m (plataforma inicial) y cuál es la potencia media mínima si esa energía se entrega a lo largo de todo el recorrido de 4 minutos?

Respuesta:
Paso 1: Usamos \(W=mgh\).
Paso 2: Datos: \(m=280\ \mathrm{kg},\ h=35\ \mathrm{m},\ g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\).
Paso 3: Energía necesaria: \(W=280\cdot9.8\cdot35=280\cdot343=96040\ \mathrm{J}\).
Paso 4: Si esa energía se entrega en todo el tiempo total 240 s, potencia media mínima: \(P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{96040}{240}=400.17\ \mathrm{W}\).
Paso 5: Comentario: si la subida se realiza en menos tiempo la potencia requerida será mayor; este valor es un promedio mínimo si el motor entrega la energía durante todo el recorrido.
Resultado final: \(\boxed{W\approx9.60\times10^{4}\ \mathrm{J},\quad P_{prom}\approx4.00\times10^{2}\ \mathrm{W}}\)