FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 199 – Resuelto 0

Pregunta a) Determino la frecuencia (fundamental) de la cuerda.

Respuesta:
Paso 1: Sustituir la fórmula de la frecuencia fundamental: \(f_1=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\).
Paso 2: Convertir la distancia a metros: 64 cm = \(64\times\dfrac{1\,\text{m}}{100\,\text{cm}}=\dfrac{64}{100}\,\text{m}=\dfrac{\cancel{64}^{\;/4}}{\cancel{100}^{\;/4}}\,\text{m}=\dfrac{16}{25}\,\text{m}=0.64\,\text{m}\).
Paso 3: Sustituir valores: \(T=267\,\text{N},\;\mu=3.0\times10^{-3}\,\text{kg/m},\;L=0.64\,\text{m}\).
Paso 4: Calcular \(\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{267}{3.0\times10^{-3}}}=\sqrt{8.90\times10^{4}}\approx 2.9833\times10^{2}\,\text{m/s}\).
Paso 5: Calcular \(f_1=\dfrac{1}{2(0.64)}(2.9833\times10^{2})=\dfrac{2.9833\times10^{2}}{1.28}\approx 233.1\,\text{Hz}.\)

Resultado final: $$\boxed{f_1\approx 2.33\times10^{2}\ \text{Hz} \ (\approx 233\ \text{Hz})}$$

Pregunta b) Determino la amplitud de la fuerza electromotriz inducida en los extremos de la cuerda.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: para un segmento que se mueve perpendicularmente a \(\mathbf{B}\), \(\mathcal{E}_{\text{max}}=B\,\ell\,A\,\omega\) con \(\omega=2\pi f\).
Paso 2: Datos: \(B=4.50\,\text{mT}=4.50\times10^{-3}\,\text{T},\;\ell=2\,\text{cm}=0.02\,\text{m},\;A=1.5\,\text{cm}=0.015\,\text{m},\;f\approx233.1\,\text{Hz}.\)
Paso 3: Calcular \(\omega=2\pi f=2\pi(233.1)\approx 1.4648\times10^{3}\,\text{rad/s}.\)
Paso 4: Calcular \(\mathcal{E}_{\text{max}}=B\,\ell\,A\,\omega=(4.50\times10^{-3})(0.02)(0.015)(1.4648\times10^{3}).\)
Paso 5: Multiplicamos en pasos: \(B\,\ell=4.50\times10^{-3}\times0.02=9.0\times10^{-5}.\) \(A\,\omega=0.015\times1.4648\times10^{3}\approx21.972\,\text{m/s}.\)
Paso 6: Entonces \(\mathcal{E}_{\text{max}}=(9.0\times10^{-5})(21.972)\approx1.977\times10^{-3}\,\text{V}.\)

Resultado final: $$\boxed{\mathcal{E}_{\text{max}}\approx1.98\times10^{-3}\ \text{V}\ (\approx1.98\ \text{mV})}$$

Pregunta c) Investigo un rango de frecuencia para cada una de las cuerdas de una guitarra y genero una tabla resumen.

Respuesta:
Paso 1: Frecuencias estándar (afinación E estándar, de la cuerda 6 a 1): E2, A2, D3, G3, B3, E4.
Paso 2: Valores típicos (frecuencia fundamental en Hz): E2 = 82.41 Hz, A2 = 110.00 Hz, D3 = 146.83 Hz, G3 = 196.00 Hz, B3 = 246.94 Hz, E4 = 329.63 Hz.
Paso 3: Se puede dar un pequeño rango alrededor de cada nota por microafinación; p. ej. ±1 semitono corresponde a aproximadamente factor \(2^{\pm1/12}\) (no mostrado completo aquí).
Resultado (tabla resumen):

Pregunta d) ¿Qué parámetros deberían variar para recrear un instrumento que permita saber si una guitarra está afinada?

Respuesta:
Paso 1: Regla de la frecuencia: \(f\propto\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\). Para controlar la frecuencia hay tres parámetros importantes: tensión \(T\), longitud activa \(L\) y densidad lineal \(\mu\).
Paso 2: Parámetros a variar/controlar: (i) Tensión \(T\) (afinador tradicional: ajuste de clavijas).
Paso 3: (ii) Longitud efectiva \(L\) (posición del dedo o cejilla; los trastes cambian L).
Paso 4: (iii) Densidad lineal \(\mu\) (grosor/material de la cuerda; cambiar la cuerda cambia la nota posible).
Paso 5: Parámetros eléctricos/medición: intensidad del campo magnético \(B\), longitud del tramo en el campo \(\ell\) y sensibilidad del circuito (amplificación), que afectan la señal eléctrica detectada pero no la frecuencia acústica.
Resultado final: Para recrear un afinador basándose en la cuerda magnética conviene poder controlar/medir \(T\), \(L\) y conocer \(\mu\); además calibrar \(B,\ \ell\) y la amplificación para obtener señal suficiente.

Pregunta e) ¿Resultaría más fácil recrear el instrumento casero para afinar las cuerdas generando una inducción eléctrica o generando un campo magnético mediante una corriente que permita distinguir las ondas sonoras?

Respuesta:
Paso 1: Comparación básica: detectar la vibración mediante la inducción (pickup pasivo) usa el campo magnético fijo del imán y lee la fem inducida por la cuerda metálica que corta las líneas de \(\mathbf{B}\). Generar un campo mediante corriente para “sondear” la cuerda implicaría un sistema activo más complejo y menos directo para medir la frecuencia acústica.
Paso 2: Ventajas de la inducción (método preferible): (i) es el principio de las pastillas de guitarra: simple, pasivo, señal eléctrica proporcional a la velocidad de la cuerda; (ii) no requiere generar campos variables con electrónica de potencia; (iii) fácil amplificación y análisis de frecuencia con un microcontrolador o circuito simple.
Paso 3: Desventajas de generar un campo con corriente: mayor complejidad, posibilidad de interferencias, necesidad de sincronización y de convertir respuesta magnética en información de frecuencia sonora; además consume energía y añade ruido.
Resultado final: Es más práctico recrear un afinador casero detectando la inducción eléctrica (pickup + amplificador + FFT o contador de periodo) que intentar “interrogar” la cuerda generando campos con corriente.