FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 208 – Resuelto 0

Pregunta 1) La fuerza que la Luna ejerce sobre una porción de masa del océano de la superficie de la Tierra es la misma, tanto en su punto más cercano a la Luna como en su punto más alejado de esta. ( )

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Ley de gravitación universal: \(F=G\dfrac{m_{por\,ción}\; m_{L}}{r^2}\).
Paso 2: Fuerza en el punto más cercano (distancia \(r_1=d-R_E\)): \(F_{cerca}=G\dfrac{m\,M_{L}}{(d-R_E)^2}\).
Paso 3: Fuerza en el punto más alejado (distancia \(r_2=d+R_E\)): \(F_{lejos}=G\dfrac{m\,M_{L}}{(d+R_E)^2}\).
Paso 4: Compare la diferencia: \(F_{cerca}-F_{lejos}=G m M_{L}\Big(\dfrac{1}{(d-R_E)^2}-\dfrac{1}{(d+R_E)^2}\Big)\).
Paso 5: Simplifico la resta de fracciones: \(\dfrac{1}{(d-R)^2}-\dfrac{1}{(d+R)^2}=\dfrac{(d+R)^2-(d-R)^2}{(d-R)^2(d+R)^2}\).
Paso 6: Calculo el numerador: \((d+R)^2-(d-R)^2=(d^2+2dR+R^2)-(d^2-2dR+R^2)=4dR\).
Paso 7: Entonces \(F_{cerca}-F_{lejos}=G m M_{L}\dfrac{4dR_E}{(d-R_E)^2(d+R_E)^2}\), que es diferente de cero.
Resultado final: \(\boxed{\text{Falsa}}
\) (las fuerzas no son iguales porque dependen de la distancia al cuadrado y \(d-R_E\neq d+R_E\)).

Pregunta 2) Las mareas se asocian con la atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna. ( )

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Mareas = efecto del gradiente del campo gravitatorio (diferencia de tirón) de la Luna y del Sol sobre distintas partes de la Tierra; ley de gravitación \(F=Gm_1m_2/r^2\).
Paso 2: La afirmación propone que las mareas son por la atracción de la Tierra sobre la Luna; eso invierte causa y efecto: las mareas en los océanos son provocadas por la fuerza diferencial que la Luna (y también el Sol) ejerce sobre distintas partes de la Tierra.
Paso 3: Expresión aproximada (aceleración de marea debido a la Luna): derive \(g(r)=GM_L/r^2\) respecto a \(r\): \(dg/dr=-2GM_L/r^3\). Para un desplazamiento \(\Delta r\approx R_E\) en la superficie, \(\Delta g\approx\dfrac{dg}{dr}\Delta r\approx -2GM_L\dfrac{R_E}{d^3}\).
Paso 4: Esto muestra que las mareas dependen del gradiente del campo lunar sobre la Tierra, no de la atracción de la Tierra sobre la Luna.
Resultado final: \(\boxed{\text{Falsa}}\) (las mareas se deben principalmente a la diferencia de la atracción lunar —y solar— en distintos puntos de la Tierra, no a la atracción de la Tierra sobre la Luna).

Pregunta 3) La Tierra atrae a la Luna con la misma fuerza que la ejercida por el Sol sobre la Tierra ( )

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Ley de gravitación \(F=G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\) y tercera ley de Newton (las fuerzas entre dos cuerpos son iguales y opuestas, pero esto vale par a par, no entre pares distintos).
Paso 2: Fuerza Tierra–Luna: \(F_{E\!M}=G\dfrac{M_E M_L}{d^2}\), con \(d\) distancia Tierra–Luna.
Paso 3: Fuerza Sol–Tierra: \(F_{S\!E}=G\dfrac{M_S M_E}{D^2}\), con \(D\) distancia Sol–Tierra.
Paso 4: Compare razones: \(\dfrac{F_{S\!E}}{F_{E\!M}}=\dfrac{G\dfrac{M_S M_E}{D^2}}{G\dfrac{M_E M_L}{d^2}}=\dfrac{M_S}{M_L}\dfrac{d^2}{D^2}\).
Paso 5: Aquí se cancela \(\cancel{G}\) y \(\cancel{M_E}\). La expresión no es 1 en general porque \(M_S\), \(M_L\), \(d\) y \(D\) son muy diferentes.
Paso 6: Evaluación aproximada con valores típicos: \(M_S\approx1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg},\; M_L\approx7.35\times10^{22}\,\mathrm{kg},\; d\approx3.84\times10^{8}\,\mathrm{m},\; D\approx1.50\times10^{11}\,\mathrm{m}.\)\
Paso 7: Calculo rápido: \(\dfrac{M_S}{M_L}\approx2.71\times10^{7},\quad \dfrac{d^2}{D^2}\approx\Big(\dfrac{3.84\times10^8}{1.50\times10^{11}}\Big)^2\approx6.55\times10^{-6}.\)\
Paso 8: Producto: \(\dfrac{F_{S\!E}}{F_{E\!M}}\approx2.71\times10^{7}\times6.55\times10^{-6}\approx1.78\times10^{2}\).
Resultado final: \(\boxed{\text{Falsa}}\) (la fuerza del Sol sobre la Tierra es del orden de 1.8\times10^2 veces la fuerza de la Tierra sobre la Luna; no son iguales).