FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 211 – Resuelto 0

Pregunta 1) a) Explico con mis palabras ¿en qué consiste la velocidad de escape?

Respuesta:
Paso 1: Regla/idea: La velocidad de escape es la mínima velocidad inicial que necesita un cuerpo para que su energía cinética sea suficiente para vencer la energía potencial gravitatoria y alcanzar el infinito con energía no negativa.
Paso 2: Explicación clara: Si un objeto parte desde la superficie de la Tierra (o desde distancia r) con velocidad igual o mayor que la velocidad de escape, su energía total (cinética + potencial) será mayor o igual que cero y por tanto no quedará ligado gravitatoriamente al planeta; si tiene menos velocidad, la gravedad terminará por devolverlo.
Resultado final: \(\boxed{\text{Velocidad mínima para que un objeto escape al infinito sin volver}}\)

Pregunta 2) b) Mediante la tercera ley de Kepler y la fuerza gravitatoria, demuestro la ecuación de la velocidad de escape \(v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}\). Tomo en cuenta que la fuerza centrípeta es equivalente a la fuerza gravitacional.

Respuesta:
Paso 1: Fórmulas a usar: fuerza gravitatoria \(F_g=G\dfrac{Mm}{r^2}\), fuerza centrípeta \(F_c=m\dfrac{v^2}{r}\), tercera ley de Kepler (forma de Newton) \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\) y conservación de la energía para el escape: \(\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{GMm}{r}=0\).
Paso 2: Primero obtengo la velocidad orbital usando la tercera ley y la relación velocidad-periodo.
Paso 3: Velocidad en órbita: \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\).
Paso 4: Sustituyo \(T\) con la tercera ley: \(v=\dfrac{2\pi r}{\sqrt{\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3}}\).
Paso 5: Simplifico la raíz: $$v=\dfrac{2\pi r}{\sqrt{\dfrac{4\pi^2 r^3}{GM}}}=\dfrac{2\pi r}{\dfrac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}}.$$
Paso 6: Cancelo términos en la fracción: $$v=\dfrac{2\pi r}{\dfrac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}}=\sqrt{GM}\,\dfrac{r}{r^{3/2}}=\sqrt{GM}\,r^{-1/2}=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}.$$
Paso 7: Ahora uso conservación de la energía para obtener la velocidad de escape. Planteo que la energía total en r debe ser cero para llegar al infinito: $$\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{GMm}{r}=0.$$
Paso 8: Despejo \(v\): $$\dfrac{1}{2}m v^2=\dfrac{GMm}{r}.$$
Paso 9: Cancelo la masa del objeto \(\cancel{m}\) en ambos lados: $$\dfrac{1}{2} v^2=\dfrac{GM}{r}.$$
Paso 10: Multiplico por 2 y saco raíz: $$v^2=\dfrac{2GM}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.$$
Paso 11: Relación con la velocidad orbital: como \(v_{orb}=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\), entonces \(v_{escape}=\sqrt{2}\,v_{orb}\).
Resultado final: \(\boxed{v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}\)

Pregunta 3) c) Investigo ¿cuál es el valor de la masa terrestre y del radio terrestre?

Respuesta:
Paso 1: Fuente/valor estándar: Valores aceptados por la comunidad científica (NASA/IAU y tablas físicas).
Paso 2: Masa de la Tierra: \(M_{\oplus}\approx 5.972\times 10^{24}\ \text{kg}\).
Paso 3: Radio medio de la Tierra: \(R_{\oplus}\approx 6.371\times 10^{6}\ \text{m} \) (equivalente a 6371 km).
Paso 4: Observación: Usando estos valores en la fórmula de velocidad de escape desde la superficie se obtiene aproximadamente \(v_{escape}\approx 11.2\ \text{km/s}\), pero la pregunta pedía solo masa y radio, así que los valores anteriores son la respuesta.
Resultado final: \(\boxed{M_{\oplus}\approx 5.972\times 10^{24}\ \mathrm{kg},\quad R_{\oplus}\approx 6.371\times 10^{6}\ \mathrm{m}}\)