Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 11 – Resuelto 0

Pregunta 9 a) Si \(x^{x}=2\), calcula el valor de: \(E= x^{3x}\cdot x^{x+1}\).

Respuesta:
Paso 1: Regla: “Multiplicar potencias de la misma base suma los exponentes”: \(x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\).
Paso 2: Aplico la regla: \(E=x^{3x}\cdot x^{x+1}=x^{3x+(x+1)}=x^{4x+1}.\)
Paso 3: Expreso \(x^{4x+1}\) como \(x\cdot x^{4x}=x\cdot (x^{x})^{4}.\)
Paso 4: Uso el dato \(x^{x}=2\), entonces \((x^{x})^{4}=2^{4}=16.\)
Resultado final: \(E=x\cdot 16=16x\).\( \boxed{16x} \)

Pregunta 9 b) Si \(x, y\in\mathbb{Z}\) y \(y-x\ge 2\), halla el valor más simple de la expresión (ver imagen): \((y-x)\sqrt{\dfrac{x^{x}y^{y}+y^{x}x^{y}}{x^{y}y^{x}+y^{y}x^{x}}}\).

Respuesta:
Paso 1: Regla: propiedades de potencias y conmutatividad del producto: \(a\cdot b=b\cdot a\).
Paso 2: Observa el numerador y el denominador dentro de la raíz:
\(\text{Numerador}=x^{x}y^{y}+y^{x}x^{y}\).
\(\text{Denominador}=x^{y}y^{x}+y^{y}x^{x}\).
Paso 3: Usando conmutatividad del producto: \(x^{x}y^{y}=y^{y}x^{x}\) y \(y^{x}x^{y}=x^{y}y^{x}\).
Paso 4: Por lo tanto numerador y denominador son exactamente las mismas sumas de términos; es decir
\(\text{Numerador}=\text{Denominador}\).
Paso 5: Entonces la fracción vale 1 y la raíz cuadrada vale 1: \(\sqrt{1}=1\).
Paso 6: Multiplico por el factor exterior \(y-x\): queda \(y-x\cdot 1=y-x\).
Resultado final: \( \boxed{y-x} \)

Pregunta 10 a) Calcula el valor de \(m\), de modo que “y” sea menor que “x” en 7 unidades, dado el sistema
\(2x+7y=m\)
\(x+9y=m\).

Respuesta:
Paso 1: Regla: si ambas expresiones son iguales a \(m\), entonces son iguales entre sí: \(2x+7y=x+9y\).
Paso 2: Simplifico la igualdad: \(2x+7y=x+9y\).
Paso 3: Paso términos semejantes: \(2x-x=9y-7y\) da \(x=2y\).
Paso 4: Condición del enunciado: “y es menor que x en 7 unidades” significa \(y=x-7\).
Paso 5: Sustituyo \(x=2y\) en \(y=x-7\): \(y=2y-7\).
Paso 6: Resuelvo para \(y\): \(y-2y=-7\) entonces \(-y=-7\) y \(y=7\).
Paso 7: Obtengo \(x=2y=2\cdot 7=14\).
Paso 8: Calculo \(m\) usando cualquiera de las dos expresiones; uso \(m=x+9y\): \(m=14+9\cdot 7=14+63=77\).
Comprobación: \(2x+7y=2\cdot 14+7\cdot 7=28+49=77\) coincide.
Resultado final: \( \boxed{77} \)