Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 56 – Resuelto 0

Pregunta 1) Hallar los primeros cinco términos de la sucesión definida por: a1 = 5 ; an+1 = – 3 an

Respuesta:
Paso 1: Regla: la sucesión recursiva da cada término multiplicando el anterior por -3: \(a_{n+1}=-3a_n\).
Paso 2: Calcule los términos uno a uno:
– \(a_1=5\).
– \(a_2=-3\cdot a_1=-3\cdot 5=-15\).
– \(a_3=-3\cdot a_2=-3\cdot(-15)=45\).
– \(a_4=-3\cdot a_3=-3\cdot 45=-135\).
– \(a_5=-3\cdot a_4=-3\cdot(-135)=405\).
Resultado final: \( \boxed{5,\ -15,\ 45,\ -135,\ 405} \)

Pregunta 2) Encuentra tres números consecutivos que se hallen en progresión aritmética, cuya suma sea 49

Respuesta:
Paso 1: Regla: tres términos consecutivos en una progresión aritmética se pueden escribir como \(a-d,\;a,\;a+d\).
Paso 2: Sume y iguale a 49: \((a-d)+a+(a+d)=3a=49\).
Paso 3: Despeje la media: \(a=\dfrac{49}{3}\).
Paso 4: Por tanto los tres números son \(\dfrac{49}{3}-d,\;\dfrac{49}{3},\;\dfrac{49}{3}+d\), donde \(d\) es la diferencia común (cualquier número real).
Ejemplo (si pide números concretos, elegir \(d=1\)): \(\dfrac{46}{3},\;\dfrac{49}{3},\;\dfrac{52}{3}\).
Resultado final: \( \boxed{\dfrac{49}{3}-d,\;\dfrac{49}{3},\;\dfrac{49}{3}+d}\) (por ejemplo \(\boxed{\tfrac{46}{3},\;\tfrac{49}{3},\;\tfrac{52}{3}}\) si \(d=1\)).

Pregunta 3) Halla el quinto término de una progresión geométrica si se sabe que el primer término es 2 y el noveno es 13122.

Respuesta:
Paso 1: Regla: en una progresión geométrica \(a_n=a_1 r^{n-1}\).
Paso 2: Use el noveno: \(a_9=a_1 r^{8}\Rightarrow 13122=2\,r^{8}\).
Paso 3: Despeje \(r^{8}=\dfrac{13122}{2}=6561\).
Paso 4: Reconozca que \(6561=3^{8}\), luego \(r=3\).
Paso 5: Calcule el quinto término: \(a_5=a_1 r^{4}=2\cdot 3^{4}=2\cdot 81=162\).
Resultado final: \( \boxed{162} \)

Pregunta 4) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos dados: y = 3x^2 – 1 en x = 3.

Respuesta:
Paso 1: Regla: la pendiente de la tangente es la derivada \(y’\). Para potencia, \(\dfrac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1}\).
Paso 2: Derive: \(y=3x^2-1\Rightarrow y’=6x\).
Paso 3: Evalúe en \(x=3\): \(y'(3)=6\cdot 3=18\).
Resultado final: \( \boxed{18} \)

Pregunta 5) Calcule la derivada de la siguiente función: \(g(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x^2-9x}\).

Respuesta:
Paso 1: Regla: regla del cociente \((u/v)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\). Aquí \(u=x^2+3x+1\) y \(v=x^2-9x\).
Paso 2: Calcule derivadas: \(u’=2x+3\), \(v’=2x-9\).
Paso 3: Aplique regla: \(g'(x)=\dfrac{(2x+3)(x^2-9x)-(x^2+3x+1)(2x-9)}{(x^2-9x)^2}\).
Paso 4: Expanda cada producto para simplificar:
\((2x+3)(x^2-9x)=2x^3-18x^2+3x^2-27x=2x^3-15x^2-27x\).
\((x^2+3x+1)(2x-9)=2x^3-9x^2+6x^2-27x+2x-9=2x^3-3x^2-25x-9\).
Paso 5: Reste los polinomios (muestre cancelación):
Numerador = \((2x^3-15x^2-27x)- (2x^3-3x^2-25x-9)\).
Numerador = \(\cancel{2x^3}-15x^2-27x-\cancel{2x^3}+3x^2+25x+9\).
Paso 6: Combine términos: \(-15x^2+3x^2=-12x^2\), \(-27x+25x=-2x\), y queda \(+9\). Entonces numerador = \(-12x^2-2x+9\).
Paso 7: Escriba la derivada final:
\(g'(x)=\dfrac{-12x^2-2x+9}{(x^2-9x)^2}\).
Se puede factorizar el signo si se prefiere: \(g'(x)=\dfrac{9-2x-12x^2}{(x^2-9x)^2}\).
Resultado final: \( \boxed{\dfrac{-12x^2-2x+9}{(x^2-9x)^2}} \)

Pregunta 6) Halle el valor de la siguiente integral definida: \(\displaystyle\int_{3}^{11}\sqrt{2x+3}\;dx\).

Respuesta:
Paso 1: Regla: usar sustitución \(u=2x+3\), \(du=2\,dx\Rightarrow dx=du/2\).
Paso 2: Cambie los límites: cuando \(x=3\), \(u=2\cdot3+3=9\). Cuando \(x=11\), \(u=2\cdot11+3=25\).
Paso 3: Transforme la integral:
\(\int_{3}^{11}\sqrt{2x+3}\;dx=\int_{9}^{25}\sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{2}=\dfrac{1}{2}\int_{9}^{25}u^{1/2}du\).
Paso 4: Integre: \(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}u^{3/2}=\dfrac{1}{3}u^{3/2}\).
Paso 5: Evalúe entre 9 y 25: \(\dfrac{1}{3}(25^{3/2}-9^{3/2})=\dfrac{1}{3}(125-27)=\dfrac{98}{3}\).
Resultado final: \( \boxed{\dfrac{98}{3}} \)