Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 57 – Resuelto 0

Pregunta 7) Se desea fabricar una caja sin tapa, con una base cuadrada y con un área total de 450 cm2 (base + 4 paredes). ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se necesita que el volumen sea máximo?

Respuesta:
Paso 1: Fórmula / regla: Sea el lado de la base \(x\) y la altura \(h\). Área total (sin tapa): \(S=x^2+4xh=450\). Volumen: \(V=x^2h\).
Paso 2: Despejamos \(h\) de la restricción: \(h=\dfrac{450-x^2}{4x}\).
Paso 3: Sustituimos en el volumen: \(V=x^2\cdot\dfrac{450-x^2}{4x}=\dfrac{x^2(450-x^2)}{4x}=\dfrac{\cancel{x} (450-x^2)}{4}\) (se cancela un \(x\)).
Paso 4: Simplificamos: \(V=\dfrac{450x-x^3}{4}\).
Paso 5: Derivamos para encontrar extremos: \(V'(x)=\dfrac{450-3x^2}{4}\). Igualamos a cero: \(450-3x^2=0\Rightarrow x^2=150\Rightarrow x=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\) (tomamos la solución positiva porque es una longitud).
Paso 6: Verificamos que sea máximo con la segunda derivada: \(V”(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{450-3x^2}{4}\right)=\dfrac{-6x}{4}=-\dfrac{3x}{2}\). Para \(x=5\sqrt{6}>0\), \(V”(x)<0\) por lo que es un máximo.
Paso 7: Calculamos la altura correspondiente: \(h=\dfrac{450-x^2}{4x}=\dfrac{450-150}{4x}=\dfrac{300}{4x}=\dfrac{75}{x}=\dfrac{75}{5\sqrt{6}}=\dfrac{15}{\sqrt{6}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\) cm.
Resultado final: \(\boxed{\text{Lado de la base }x=5\sqrt{6}\text{ cm, altura }h=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\text{ cm (volumen máximo }V=375\sqrt{6}\text{ cm}^3)}\)

Pregunta 8) Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por las curvas \(y=x^2\), \(x=0\) y \(x=2\).

Respuesta:
Paso 1: Fórmula / regla: Método de discos alrededor del eje x: \(V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx\). Aquí \(f(x)=x^2\), \(a=0\), \(b=2\).
Paso 2: Sustituimos: \(V=\pi\int_0^2 (x^2)^2\,dx=\pi\int_0^2 x^4\,dx\).
Paso 3: Integramos: \(\int x^4\,dx=\dfrac{x^5}{5}\). Entonces \(V=\pi\left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2=\pi\cdot\dfrac{2^5}{5}=\pi\cdot\dfrac{32}{5}\).
Resultado final: \(\boxed{V=\dfrac{32\pi}{5}\text{ unidades}^3}\)

Pregunta 9) Realice las operaciones indicadas con los siguientes vectores: \(\mathbf{A}=[1;\;5],\;\mathbf{B}=[-2;\;3],\;\mathbf{C}=[3;\;-6]\). a) \(\mathbf{A}-\mathbf{B}\) b) \(2\mathbf{B}-\mathbf{C}\) c) \(\mathbf{A}-5\mathbf{B}-\mathbf{C}\)

Respuesta:
Regla: Las operaciones se hacen componente a componente: si \(\mathbf{u}=[u_1;u_2]\) y \(\mathbf{v}=[v_1;v_2]\) entonces \(\mathbf{u}\pm\mathbf{v}=[u_1\pm v_1;\;u_2\pm v_2]\) y \(k\mathbf{u}=[ku_1;\;ku_2]\).
a) \(\mathbf{A}-\mathbf{B}=[1-(-2);\;5-3]=[1+2;\;2]=[3;\;2]\).
Resultado final a): \(\boxed{[3;\;2]}\).
b) Primero multiplicamos: \(2\mathbf{B}=2[-2;\;3]=[-4;\;6]\). Luego restamos \(\mathbf{C}\): \([-4;\;6]-[3;\;-6]=[-4-3;\;6-(-6)]=[-7;\;12]\).
Resultado final b): \(\boxed{[-7;\;12]}\).
c) Calculamos paso a paso: \(5\mathbf{B}=5[-2;\;3]=[-10;\;15]\). \(\mathbf{A}-5\mathbf{B}=[1-(-10);\;5-15]=[11;\;-10]\). Ahora restamos \(\mathbf{C}\): \([11;\;-10]-[3;\;-6]=[11-3;\;-10-(-6)]=[8;\;-4]\).
Resultado final c): \(\boxed{[8;\;-4]}\).

Pregunta 10) Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos \(A(-2,-1)\) y \(B(-2,1)\).

Respuesta:
Paso 1: Regla: Una recta que pasa por \(\mathbf{r_0}\) con vector director \(\mathbf{v}\) tiene ecuación \(\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}\).
Paso 2: Calculamos el vector director: \(\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=B-A=[-2-(-2);\;1-(-1)]=[0;\;2]\).
Paso 3: Tomamos un punto, por ejemplo \(A(-2,-1)\). Entonces la ecuación vectorial es \(\mathbf{r}=[-2;\;-1]+t[0;\;2],\;t\in\mathbb{R}\).
Paso 4: También se puede escribir por componentes: \(x=-2,\;y=-1+2t\).
Resultado final: \(\boxed{\mathbf{r}=[-2;\;-1]+t[0;\;2],\;t\in\mathbb{R}}\).