Página 79 - ejercicios
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Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 79 – Resuelto 0
Contexto: Modelamos un problema de programación lineal con variables (horas) y una función objetivo (minimizar el tiempo total). Regla principal: si el objetivo es minimizar tiempo, la función objetivo es suma de horas y se imponen restricciones de producción.
Definimos variables y escribimos restricciones de cantidades para que se produzca al menos lo requerido. Luego minimizamos el tiempo total.
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 79.
Pregunta 1) Una empresa necesita producir 200 unidades de A y 150 unidades de B. La máquina 1 produce hasta 40 de A y 30 de B por hora. La máquina 2 produce hasta 20 de A y 20 de B por hora. ¿Cuántas horas debe usar cada máquina para minimizar el tiempo total?
Respuesta:
Paso 1: Definimos las variables:
x = horas usadas de la máquina 1
y = horas usadas de la máquina 2
Paso 2: Planteamos restricciones de producto A (producción mínima 200):
40x + 20y \(\ge 200\)
Paso 3: Planteamos restricciones de producto B (producción mínima 150):
30x + 20y \(\ge 150\)
Paso 4: Consideramos tiempo no negativo (horas):
\(x \ge 0\), \(y \ge 0\)
Paso 5: Función objetivo (minimizar el tiempo total):
Minimizar \(f(x,y)=x+y\)
Paso 6: Para minimizar, basta evaluar el punto donde las restricciones se cumplen como ecuaciones (intersección):
Resolvemos el sistema
40x + 20y = 200
30x + 20y = 150
Paso 7: Simplificamos la primera ecuación dividiendo entre 20:
40x/20 + 20y/20 = 200/20
\(2x + y = 10\)
Paso 8: Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 10:
30x/10 + 20y/10 = 150/10
\(3x + 2y = 15\)
Paso 9: Sustituimos \(y\) desde \(2x+y=10\):
De \(2x+y=10\) se obtiene \(y=10-2x\)
Paso 10: Sustituimos en \(3x+2y=15\):
\(3x + 2(10-2x) = 15\)
Paso 11: Simplificamos:
\(3x + 20 – 4x = 15\)
\(\cancel{3x} – 4x = 15 – 20\) (restamos términos de forma equivalente)
Mejor: \(-x + 20 = 15\)
Paso 12: Resolvemos para \(x\):
\(-x + 20 = 15\)
\(-x = 15-20 = -5\)
\(x=5\)
Paso 13: Calculamos \(y\):
\(y=10-2x=10-2\cdot 5=10-10=0\)
Paso 14: Verificamos que cumple restricciones (por si acaso):
A: \(40x+20y = 40\cdot 5 + 20\cdot 0 = 200\ge 200\) ✅
B: \(30x+20y = 30\cdot 5 + 20\cdot 0 = 150\ge 150\) ✅
Paso 15: Calculamos el tiempo total:
\(x+y=5+0=5\)
Paso 16: Conclusión: para producir exactamente lo mínimo en ambas restricciones, el tiempo es el mínimo obtenido en la región factible.
Resultado final:
Máquina 1: \(x=5\) horas
Máquina 2: \(y=0\) horas
Resultado final: \(\boxed{x=5,\ y=0}\)
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 79.:
- Máquina 1: 5 horas; Máquina 2: 0 horas (tiempo mínimo total 5 horas).
