Matemática – Bachillerato General – Primero de Bachillerato – Pág 9 – Resuelto 0

Pregunta 4a) Resuelve el sistema:

\(\begin{cases}4x-5y=4\\8x-10y=14\end{cases}\)

Respuesta:
Paso 1: Tomamos la primera ecuación y la multiplicamos por 2 para comparar con la segunda: \(2\cdot(4x-5y)=8x-10y\).
Paso 2: Multiplicando: \(2\cdot4x-2\cdot5y=8x-10y\) y el término independiente: \(2\cdot4=8\). Entonces obtenemos \(8x-10y=8\).
Paso 3: Comparar con la segunda ecuación original \(8x-10y=14\). Restamos ambas ecuaciones: \(\cancel{8x-10y}-\cancel{8x-10y}=8-14\).
Paso 4: Queda la contradicción \(0=-6\), lo cual es imposible. Por tanto el sistema es incompatible (no tiene solución).
Resultado final: \(\boxed{\text{Sin solución (sistema incompatible)}}\)

Pregunta 4b) Resuelve el sistema:

\(\begin{cases}4x+5y=3\\8x+10y=6\end{cases}\)

Respuesta:
Paso 1: Observamos que la segunda ecuación es exactamente 2 veces la primera: \(2\cdot(4x+5y)=8x+10y\) y \(2\cdot3=6\).
Paso 2: Como ambas ecuaciones son proporcionales con el mismo término independiente, no hay contradicción y la segunda no aporta información nueva; el sistema tiene infinitas soluciones dependientes de una variable libre.
Paso 3: Despejamos \(y\) en la primera ecuación: \(4x+5y=3\Rightarrow5y=3-4x\Rightarrow y=\dfrac{3-4x}{5}.\)
Resultado final: \(\boxed{\text{Infinitas soluciones: }(x,\,y)=\left(x,\dfrac{3-4x}{5}\right),\;x\in\mathbb{R}}\)

Pregunta 4c) Resuelve el sistema:

\(\begin{cases}2x+7y=0\\3x+5y=13\end{cases}\)

Respuesta:
Paso 1: Usamos eliminación. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para igualar coeficientes de \(x\):
\(3\cdot(2x+7y)=6x+21y=0\) y \(2\cdot(3x+5y)=6x+10y=26\).
Paso 2: Restamos ambas ecuaciones para eliminar \(x\): \((6x+21y)-(6x+10y)=0-26\).
Paso 3: Al restar los términos iguales usamos cancelación: \(\cancel{6x}+21y-\cancel{6x}-10y= -26\).
Paso 4: Simplificamos: \(11y=-26\Rightarrow y=-\dfrac{26}{11}.\)
Paso 5: Sustituimos en la primera ecuación para hallar \(x\): \(2x+7\left(-\dfrac{26}{11}\right)=0\).
Paso 6: Calculamos: \(2x-\dfrac{182}{11}=0\Rightarrow2x=\dfrac{182}{11}\Rightarrow x=\dfrac{91}{11}.\)
Resultado final: \(\boxed{\left( x, y\right)=\left(\dfrac{91}{11},-\dfrac{26}{11}\right)}\)

Pregunta 5a) Resuelve y expresa como intervalo:

\(x-\dfrac{5}{3}\ge \dfrac{5(1-x)}{4}\)

Respuesta:
Paso 1: Multiplicamos ambos lados por 12 (mcm de 3 y 4) para eliminar fracciones: \(12\left(x-\dfrac{5}{3}\right)\ge 12\cdot\dfrac{5(1-x)}{4}\).
Paso 2: Calculamos cada lado: \(12x-12\cdot\dfrac{5}{3}=12x-20\). Y en el lado derecho: \(12\cdot\dfrac{5(1-x)}{4}=3\cdot5(1-x)=15(1-x).\)
Paso 3: Queda la desigualdad: \(12x-20\ge 15-15x\).
Paso 4: Pasamos términos de \(x\) a la izquierda: \(12x+15x\ge 15+20\Rightarrow27x\ge35\).
Paso 5: Despejamos \(x\): \(x\ge\dfrac{35}{27}.\)
Resultado final (intervalo): \(\boxed{\left[\dfrac{35}{27},\,\infty\right)}\)

Pregunta 5b) Resuelve y expresa como intervalo:

\(2x+1\ge \dfrac{x+2}{3}\)

Respuesta:
Paso 1: Multiplicamos por 3 para eliminar el denominador: \(3(2x+1)\ge x+2\Rightarrow6x+3\ge x+2.\)
Paso 2: Pasamos \(x\) a la izquierda y constantes a la derecha: \(6x-x\ge2-3\Rightarrow5x\ge-1.\)
Paso 3: Despejamos \(x\): \(x\ge -\dfrac{1}{5}.\)
Resultado final (intervalo): \(\boxed{\left[-\dfrac{1}{5},\,\infty\right)}\)

Pregunta 5c) Resuelve y expresa como intervalo:

\(\dfrac{1}{3}(2-6x)+4\le -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}(2-8x)\)

Respuesta:
Paso 1: Eliminamos paréntesis y simplificamos cada lado: \(\dfrac{1}{3}(2-6x)=\dfrac{2}{3}-2x\). Entonces LHS: \(\dfrac{2}{3}-2x+4=\dfrac{14}{3}-2x.\)
Paso 2: RHS: \(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}(2-8x)=-\dfrac{1}{2}-1+4x=-\dfrac{3}{2}+4x.\)
Paso 3: Inecuación: \(\dfrac{14}{3}-2x\le -\dfrac{3}{2}+4x.\)
Paso 4: Pasamos términos de \(x\) a la derecha y constantes a la izquierda: \(\dfrac{14}{3}+\dfrac{3}{2}\le 4x+2x.\)
Paso 5: Sumamos las fracciones: \(\dfrac{14}{3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{28}{6}+\dfrac{9}{6}=\dfrac{37}{6}.\) Entonces \(\dfrac{37}{6}\le6x.\)
Paso 6: Despejamos \(x\): \(x\ge\dfrac{37}{36}.\)
Resultado final (intervalo): \(\boxed{\left[\dfrac{37}{36},\,\infty\right)}\)

Pregunta 6a) Simplifica la expresión (imagen poco nítida).

Respuesta:
Paso 1: No es posible leer con seguridad los términos y exponentes en la imagen suministrada; hay múltiples raíces y fracciones en la expresión que no se distinguen con claridad.
Paso 2: Para garantizar un desarrollo correcto debemos tener la expresión exacta; solicita, por favor, una foto más nítida o transcribe la expresión aquí.
Resultado final: \(\boxed{\text{No se puede simplificar: imagen ilegible; enviar versión nítida}}\)

Pregunta 6b) Simplifica la expresión (imagen poco nítida).

Respuesta:
Paso 1: La segunda expresión también tiene varios exponentes y sumas en fracciones difíciles de leer desde la imagen actual.
Paso 2: Puedo resolverla paso a paso si subes una imagen con mayor resolución o escribes la expresión exactamente. Hasta entonces no conviene adivinar los términos porque podría llevar a errores.
Resultado final: \(\boxed{\text{Imposible de simplificar sin una transcripción clara; pedir imagen nítida}}\)