MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 162 – Resuelto 0

Pregunta 1) Halla la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 25 cm y el otro cateto 16 cm.

Respuesta:
Paso 1: Regla (Teorema de Pitágoras): $$c^2=a^2+b^2$$
Paso 2: Sea la hipotenusa \(c=25\) y un cateto \(a=16\). Buscamos el otro cateto \(b\). Aplicamos la fórmula: \(b=\sqrt{c^2-a^2}\).
Paso 3: Sustituimos números: \(b=\sqrt{25^2-16^2}=\sqrt{625-256}=\sqrt{369}\).
Paso 4: Simplificamos la raíz: \(\sqrt{369}=\sqrt{9\cdot 41}=\sqrt{9}\,\sqrt{41}=3\sqrt{41}\).
Resultado final: \( \boxed{3\sqrt{41}\ \text{cm}} \)

Pregunta 2) Resuelvo el siguiente triángulo: hay un triángulo rectángulo con un ángulo de \(30^\circ\) en un vértice y el cateto adyacente a ese ángulo mide \(12\) cm. Calcular los otros lados.

Respuesta:
Paso 1: Regla (razones trigonométricas): \(\cos\theta=\dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\theta=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\).
Paso 2: Denotemos: adyacente a \(30^\circ\) es \(12\). Entonces la hipotenusa \(h=\dfrac{12}{\cos 30^\circ}\) y el cateto opuesto \(o=12\tan 30^\circ\).
Paso 3: Usamos valores exactos: \(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
Paso 4: Calculamos la hipotenusa: \(h=\dfrac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12\cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{24}{\sqrt{3}}\).
Paso 5: Simplificamos \(\dfrac{24}{\sqrt{3}}=\dfrac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\). (Aquí se puede ver la cancelación: \(\dfrac{24}{\sqrt{3}}=\dfrac{\cancel{24}}{\sqrt{3}}\) y al racionalizar \(\dfrac{24\sqrt{3}}{\cancel{3}}=8\sqrt{3}\).)
Paso 6: Calculamos el cateto opuesto: \(o=12\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\).
Resultado final: \( \boxed{\text{Cateto opuesto }=4\sqrt{3}\ \text{cm},\quad \text{Hipotenusa }=8\sqrt{3}\ \text{cm}} \)

Pregunta 3) Carlos ha heredado un terreno triangular. En los planos solo se visualiza un ángulo de \(48^\circ\) y el cateto adyacente a ese ángulo mide \(35\) cm. ¿Cuál es el perímetro y el área del terreno?

Respuesta:
Paso 1: Regla (razones trigonométricas y área de triángulo rectángulo): \(\tan\theta=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}},\; \cos\theta=\dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}},\; \text{Área}=\dfrac{1}{2}(\text{cateto}_1)(\text{cateto}_2)\).
Paso 2: Sea el cateto adyacente \(a=35\) cm y el ángulo en ese vértice \(\theta=48^\circ\). Entonces el cateto opuesto es \(o=a\tan 48^\circ\) y la hipotenusa \(h=\dfrac{a}{\cos 48^\circ}\).
Paso 3: Calculamos numéricamente (valores aproximados): \(\tan 48^\circ\approx 1.110612,\; \cos 48^\circ\approx 0.669130\).
Paso 4: Cateto opuesto: \(o\approx 35\cdot 1.110612\approx 38.8714\ \text{cm}\).
Paso 5: Hipotenusa: \(h\approx \dfrac{35}{0.669130}\approx 52.3166\ \text{cm}\).
Paso 6: Perímetro: \(P=a+o+h\approx 35+38.8714+52.3166\approx 126.1880\ \text{cm}\).
Paso 7: Área: \(A=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}\cdot 35\cdot 38.8714\approx 680.2425\ \text{cm}^2\).
Resultado final: \( \boxed{P\approx 126.19\ \text{cm},\quad A\approx 680.24\ \text{cm}^2} \)

Pregunta 4) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a \(\dfrac{6}{4}\) del producto de sus catetos. ¿Cuánto mide la cotangente del ángulo mayor?

Respuesta:
Paso 1: Regla (teorema de Pitágoras y relación entre catetos): Si los catetos son \(a,b\) y la hipotenusa \(c\), entonces \(c^2=a^2+b^2\). Se da la condición \(c^2=\dfrac{6}{4}ab=\dfrac{3}{2}ab\).
Paso 2: Igualando: \(a^2+b^2=\dfrac{3}{2}ab\). Pasamos todo a un lado: \(a^2-\dfrac{3}{2}ab+b^2=0\).
Paso 3: Dividimos entre \(b^2\) para expresar la relación de razón \(t=\dfrac{a}{b}\): \(t^2-\dfrac{3}{2}t+1=0\).
Paso 4: Calculamos el discriminante: \(\Delta=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-4\cdot 1\cdot 1=\dfrac{9}{4}-4=\dfrac{9-16}{4}= -\dfrac{7}{4}\).
Paso 5: Como el discriminante es negativo (\(\Delta<0\)), la ecuación no tiene soluciones reales para \(t=\dfrac{a}{b}\). Esto significa que no existen catetos reales que cumplan la condición dada; por tanto no existe un triángulo rectángulo real con esa propiedad.
Resultado final: \( \boxed{\text{No existe solución real (no hay triángulo real que cumpla la condición).}} \)