MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 163 – Resuelto 0

Pregunta 5 a) Se presenta el número de entregas de paquetes durante 15 días: 14, 12, 9, 10, 8, 11, 12, 12, 14, 13, 10, 11, 12, 9, 14. Organizo la información en la tabla por intervalos: (8;10), (10;12), (12;14).

Respuesta:
Paso 1: Contar cuántas observaciones caen en cada intervalo. Tomamos los intervalos como: (8;10) incluye 8 y 9; (10;12) incluye 10 y 11; (12;14) incluye 12, 13 y 14.
Paso 2: Contar cada valor en la lista:
8 aparece 1 vez.
9 aparece 2 veces.
10 aparece 2 veces.
11 aparece 2 veces.
12 aparece 4 veces.
13 aparece 1 vez.
14 aparece 3 veces.
Paso 3: Agrupar por intervalos:
(8;10): 8 + 9 => 1 + 2 = 3.
(10;12): 10 + 11 => 2 + 2 = 4.
(12;14): 12 + 13 + 14 => 4 + 1 + 3 = 8.
Resultado final: \(\boxed{\text{Tabla: }(8;10):3,\ (10;12):4,\ (12;14):8\ (\text{Total }15)}\)

Pregunta 5 b) Realizo una gráfica circular (calcular proporciones/ángulos) para los datos del ejercicio 5.

Respuesta:
Paso 1: Regla: el ángulo de cada sector es \(\theta_i=\dfrac{f_i}{N}\times 360^\circ\).
Paso 2: Usar los valores: \(N=15\).
(8;10): \(f=3\) => porcentaje \(=\dfrac{3}{15}=0.20=20\%\).
Ángulo: \(\theta=0.20\times 360^\circ=72^\circ\).
(10;12): \(f=4\) => porcentaje \(=\dfrac{4}{15}\approx0.2667=26.67\%\).
Ángulo: \(\theta\approx0.2667\times360^\circ\approx96^\circ\).
(12;14): \(f=8\) => porcentaje \(=\dfrac{8}{15}\approx0.5333=53.33\%\).
Ángulo: \(\theta\approx0.5333\times360^\circ\approx192^\circ\).
Resultado final: \(\boxed{(8;10):3\ (20\%,\ 72^\circ),\ (10;12):4\ (26.67\%,\ 96^\circ),\ (12;14):8\ (53.33\%,\ 192^\circ)}\)

Pregunta 6 a), b), c) Las temperaturas en marzo y sus frecuencias: T(°C)=13,18,21,21,17,21,23 y N(Días)=3,2,2,5,2,3,1. a) La Moda b) La Media c) La Mediana.

Respuesta:
Paso 1: Primero agrupamos temperaturas iguales sumando frecuencias: 13:3; 18:2; 21: (2+5+3)=10; 17:2; 23:1. Total de días \(N=3+2+10+2+1=18\).
a) Moda:
Paso 2: La moda es la temperatura con mayor frecuencia: 21 aparece 10 veces, la mayor frecuencia.
Resultado final: \(\boxed{\text{Moda}=21^\circ\text{C}}\).
b) Media:
Paso 3: Usar \(\bar{x}=\dfrac{\sum f_i x_i}{N}\).
Calcular \(\sum f_i x_i=13\cdot3+18\cdot2+21\cdot10+17\cdot2+23\cdot1=39+36+210+34+23=342\).
Entonces \(\bar{x}=\dfrac{342}{18}=19\).
Resultado final: \(\boxed{\text{Media}=19^\circ\text{C}}\).
c) Mediana:
Paso 4: Para \(N=18\) (par), la mediana es el promedio de las observaciones en las posiciones 9 y 10 ordenadas.
Cumulativas por temperatura ordenada: 13 (3) => cumul 3; 17 (2) => cumul 5; 18 (2) => cumul 7; 21 (10) => cumul 17; 23 (1) => cumul 18.
Las posiciones 9 y 10 están dentro del grupo de 21°C, por lo tanto ambas observaciones son 21°C.
Resultado final: \(\boxed{\text{Mediana}=21^\circ\text{C}}\).

Pregunta 7 Calculo el rango, la varianza y la desviación estándar de las edades de 15 estudiantes: 15, 14, 14, 13, 16, 16, 14, 14, 12, 15, 12, 14, 14, 15, 14.

Respuesta:
Paso 1: Regla: Rango = max – min. Varianza (poblacional) \(\sigma^2=\dfrac{1}{N}\sum (x_i-\bar{x})^2\). Desviación estándar \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\).
Paso 2: Contar frecuencias: 12:2; 13:1; 14:7; 15:3; 16:2. Total \(N=15\).
Paso 3: Rango = 16 – 12 = 4.
Paso 4: Calcular la media: \(\sum x_i=12\cdot2+13\cdot1+14\cdot7+15\cdot3+16\cdot2=24+13+98+45+32=212\).
Entonces \(\bar{x}=\dfrac{212}{15}\approx14.133333\).
Paso 5: Calcular \(\sum (x_i-\bar{x})^2\) por valor único y multiplicar por su frecuencia:
12: \(x-\bar{x}=-2.133333\Rightarrow (x-\bar{x})^2\approx4.551111\) y aporte \(=4.551111\cdot2\approx9.102222\).
13: \((x-\bar{x})^2\approx1.284444\) aporte \(=1.284444\cdot1=1.284444\).
14: \((x-\bar{x})^2\approx0.0177778\) aporte \(=0.0177778\cdot7\approx0.1244446\).
15: \((x-\bar{x})^2\approx0.751111\) aporte \(=0.751111\cdot3\approx2.253333\).
16: \((x-\bar{x})^2\approx3.484444\) aporte \(=3.484444\cdot2\approx6.968889\).
Paso 6: Sumar aportes: \(\sum (x_i-\bar{x})^2\approx9.102222+1.284444+0.1244446+2.253333+6.968889\approx19.733333\).
Paso 7: Varianza poblacional: \(\sigma^2=\dfrac{19.733333}{15}\approx1.3155555\).
Paso 8: Desviación estándar: \(\sigma=\sqrt{1.3155555}\approx1.1474\).
Resultado final: \(\boxed{\text{Rango}=4,\ \sigma^2\approx1.3156,\ \sigma\approx1.1474 }\)

Pregunta 8 Determino la probabilidad del lanzamiento de una moneda cuyo resultado sea cara.

Respuesta:
Paso 1: Regla: \(P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\).
Paso 2: Para una moneda justa hay 2 resultados posibles: cara y cruz. Casos favorables para “cara” =1.
Entonces \(P(\text{cara})=\dfrac{1}{2}\).
Resultado final: \(\boxed{P(\text{cara})=\dfrac{1}{2}}\)

Pregunta 9 (primera) Juan tiene 10 libros en una estantería, 5 de Matemáticas y 5 de Historia. ¿Cuál es la probabilidad de que los libros de cada asignatura estén juntos en la estantería?

Respuesta:
Paso 1: Regla de conteo: número total de arreglos de 10 libros distintos = \(10!\). Si tratamos los 5 libros de Matemáticas como un bloque y los 5 de Historia como otro bloque, hay \(2!\) formas de ordenar los bloques y dentro de cada bloque hay \(5!\) formas de ordenar los libros.
Paso 2: Número de arreglos favorables = \(2!\cdot5!\cdot5!\).
Paso 3: Probabilidad = \(\dfrac{2!\cdot5!\cdot5!}{10!}\). Sustituir \(5!=120\) y \(10!=3\,628\,800\): \(\dfrac{2\cdot120\cdot120}{3\,628\,800}=\dfrac{28\,800}{3\,628\,800}\).
Paso 4: Simplificar la fracción: \(\dfrac{28\,800}{3\,628\,800}=\dfrac{\cancel{28\,800}}{\cancel{3\,628\,800}}=\dfrac{1}{126}\).
Resultado final: \(\boxed{\dfrac{1}{126}}\)

Pregunta 9 (segunda) Analizo la siguiente información y completo la tabla: edad, color de cabello, estatura, salario, muebles de un hogar, tipos de casas, tipos de comidas, color de ropa, peso y calificaciones. Clasificar cada ítem como Cualitativa o Cuantitativa.

Respuesta:
Paso 1: Regla: Cualitativa = describe cualidades o categorías; Cuantitativa = mide cantidades numéricas.
Paso 2: Clasificación:
edad: Cuantitativa.
color de cabello: Cualitativa.
estatura: Cuantitativa.
salario: Cuantitativa.
muebles de un hogar (tipo de muebles): Cualitativa.
tipos de casas: Cualitativa.
tipos de comidas: Cualitativa.
color de ropa: Cualitativa.
peso: Cuantitativa.
calificaciones (notas): Cuantitativa.
Resultado final: \(\boxed{\text{Cualitativa: color de cabello, muebles, tipos de casas, tipos de comidas, color de ropa.\; Cuantitativa: edad, estatura, salario, peso, calificaciones}}\)