MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 34 – Resuelto 0

Pregunta 1) Observo los dos triángulos superiores. Establece la relación entre las medidas de sus lados (triángulos con ángulos 52° y 81°). En la figura derecha las longitudes son 8 cm, 9 cm y 11 cm.

Respuesta:
Paso 1: Regla que aplica: Si los triángulos tienen los mismos ángulos son semejantes y sus lados correspondientes están en proporción: $$\frac{lado\ del\ triángulo\ 1}{lado\ del\ triángulo\ 2}=k$$
Paso 2: Identificamos los lados correspondientes según los ángulos iguales. En el triángulo derecho las longitudes (lado izquierdo : base : lado derecho) son 8 : 11 : 9. En el triángulo izquierdo los lados correspondientes se llaman (c : b : otro lado). Por tanto las proporciones son
$$\frac{c}{8}=\frac{b}{11}=\frac{?}{9}=k$$
Paso 3: Con esto afirmamos la relación de proporcionalidad entre lados: los tres pares de lados mantienen la misma razón k. Si se conoce un lado del primer triángulo se calcula el correspondiente como lado2 = k·lado1.
Resultado final: \( \boxed{\;c: b: (otro\ lado) = 8:11:9\;}\)

Pregunta 2) Observa los dos triángulos inferiores con longitudes (2, 3, 4) en el primero y (4, 6, 8) en el segundo. Establece la relación entre sus lados.

Respuesta:
Paso 1: Regla que aplica: Lados correspondientes en triángulos semejantes cumplen $$\frac{lado_1}{lado’_1}=\frac{lado_2}{lado’_2}=\frac{lado_3}{lado’_3}=k$$
Paso 2: Tomamos los pares correspondientes: 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8. Calculamos la razón k usando el primer par:
$$k=\frac{4}{2}=2$$
Paso 3: Verificamos con los otros pares:
$$\frac{6}{3}=2\quad y\quad \frac{8}{4}=2$$
Usamos \cancel{} para mostrar la simplificación:
$$\frac{4}{2}=\cancel{2}\,,\quad \frac{6}{3}=\cancel{2}\,,\quad \frac{8}{4}=\cancel{2}$$
Resultado final: \( \boxed{k=2\ \text{(el segundo triángulo es el doble de tamaño)}}\)

Pregunta 3) Observa el triángulo con lados a = 8 cm, b = 12 cm, c = 16 cm y construye un triángulo semejante. Calcula las longitudes de un triángulo semejante con factor de escala 1/2.

Respuesta:
Paso 1: Regla que aplica: Para un factor de escala k, los lados del triángulo semejante se obtienen multiplicando por k: $$a’=k\cdot a,\ b’=k\cdot b,\ c’=k\cdot c$$
Paso 2: Tomamos el factor de escala elegido k=\(\frac{1}{2}\). Aplicamos a cada lado:
$$a’=\frac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}=\frac{8}{2}\,\text{cm}=\cancel{\frac{8}{2}}\,\text{cm}=4\,\text{cm}$$
$$b’=\frac{1}{2}\cdot 12\,\text{cm}=\frac{12}{2}\,\text{cm}=\cancel{\frac{12}{2}}\,\text{cm}=6\,\text{cm}$$
$$c’=\frac{1}{2}\cdot 16\,\text{cm}=\frac{16}{2}\,\text{cm}=\cancel{\frac{16}{2}}\,\text{cm}=8\,\text{cm}$$
Paso 3: Esos tres valores forman un triángulo semejante con la misma forma, pero la mitad de tamaño.
Resultado final: \( \boxed{a’=4\,\text{cm},\ b’=6\,\text{cm},\ c’=8\,\text{cm}}\)