MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 63 – Resuelto 0

Pregunta 18 a) Juan canceló un terreno en $ 4\;300 y le falta pagar el 20 % del precio total. ¿Cuánto le costó en total el terreno?

Respuesta:
Paso 1: Sea \(T\) el precio total; como falta el 20 %, entonces pagó el 80 %: \(0.8T=4300\).
Paso 2: Despejar \(T\): \(T=\dfrac{4300}{0.8}\).
Paso 3: Escribimos \(0.8=\dfrac{4}{5}\) y calculamos: \(T=4300\div\dfrac{4}{5}=4300\cdot\dfrac{5}{4}\).
Paso 4: \(4300\cdot\dfrac{5}{4}=\left(\dfrac{4300}{4}\right)\cdot5=1075\cdot5=5375\).
Resultado final: \( \boxed{\$\,5\;375} \)

Pregunta 18 b) A los 25 años, Pamela tuvo quintillizos; hoy las edades de los 5 suman 75 años. ¿Cuál es la edad de cada hijo?

Respuesta:
Paso 1: Si la suma de las edades de los 5 hijos es 75, el promedio (edad de cada uno, si son iguales) es \(\dfrac{75}{5}\).
Paso 2: \(\dfrac{75}{5}=15\).
Paso 3: Cada hijo tiene 15 años. (Si nacieron a la misma fecha, todas las edades son iguales.)
Resultado final: \( \boxed{15\ \text{años}} \)

Pregunta 18 c) Ahora tú tienes 14 años, y cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será igual a 63 años. ¿Cuántos años tengo?

Respuesta:
Paso 1: Sea \(M\) la edad de la otra persona (la que pregunta “¿Cuántos años tengo?\”).
Paso 2: El tiempo que falta para que “tú” llegues a la edad \(M\) es \(M-14\) años. En ese momento, la edad de la otra persona será \(M+(M-14)=2M-14\).
Paso 3: La suma de edades en ese momento es \(M\) (tu edad entonces) más \(2M-14\) (edad de la otra persona), y según el enunciado eso vale 63: \(M+(2M-14)=63\).
Paso 4: Resolver la ecuación: \(3M-14=63\).
Paso 5: \(3M=63+14=77\).
Paso 6: \(M=\dfrac{77}{3}=25\dfrac{2}{3}\) años, que es 25 años y 8 meses.
Resultado final: \( \boxed{25\dfrac{2}{3}\ \text{años} = 25\ \text{años}\ 8\ \text{meses}} \)

Pregunta 19 a) ¿Cuántos números enteros existen que sean mayores a 100 y su quinta parte más 17 sea mayor o igual a su tercera parte menos 1?

Respuesta:
Paso 1: Sea \(n\) el número entero, con \(n>100\). La condición es \(\dfrac{n}{5}+17\ge\dfrac{n}{3}-1\).
Paso 2: Multiplicamos ambos miembros por 15 (mcm de 5 y 3) para evitar fracciones: \(15\left(\dfrac{n}{5}+17\right)\ge15\left(\dfrac{n}{3}-1\right)\).
Paso 3: \(15\cdot\dfrac{n}{5}+15\cdot17\ge15\cdot\dfrac{n}{3}-15\cdot1\).
Paso 4: \(\dfrac{\cancel{15}}{\cancel{5}}n+255\ge\dfrac{\cancel{15}}{\cancel{3}}n-15\) que da \(3n+255\ge5n-15\).
Paso 5: Pasar términos: \(255+15\ge5n-3n\Rightarrow270\ge2n\).
Paso 6: \(n\le\dfrac{270}{2}=135\).
Paso 7: Juntando la condición inicial \(n>100\) y esto: \(100<n\le135\).
Paso 8: Los enteros que cumplen son 101,102,…,135. Cantidad = \(135-100=35\).
Resultado final: \( \boxed{35} \)

Pregunta 19 b) La cuarta parte del triple de la edad de Mauricio disminuido en 1, es menor que 35; mientras que el cuádruplo de la edad de Mauricio aumentada en 8, excede a 56. ¿Cuál es la edad de Mauricio?

Respuesta:
Paso 1: Sea \(m\) la edad de Mauricio (en años). Primera desigualdad: \(\dfrac{3m-1}{4}<35\).
Paso 2: Multiplicar por 4: \(3m-1<140\).
Paso 3: \(3m<141\Rightarrow m<47\).
Paso 4: Segunda desigualdad: \(4(m+8)>56\).
Paso 5: Dividir por 4: \(m+8>14\Rightarrow m>6\).
Paso 6: Combinar las dos condiciones: \(6<m<47\).
Paso 7: Si pedimos edad entera, las posibilidades son los enteros de 7 hasta 46 inclusive. Por tanto Mauricio puede tener cualquier edad entera entre 7 y 46 años.
Resultado final: \( \boxed{m\in\{7,8,\dots,46\}} \)

Pregunta 19 c) Halla el mayor número entero y positivo que, aumentado en sus tres cuartas partes, es menor o igual que la quinta parte del doble del número aumentado en 3.

Respuesta:
Paso 1: Interpretación (explicada): tomamos la lectura como “aumentado en sus tres cuartas partes” = \(n+\tfrac{3}{4}n\) y “la quinta parte del doble del número aumentado en 3” como \(\dfrac{2n}{5}+3\) (esta interpretación produce solución entera).
Paso 2: La desigualdad: \(n+\dfrac{3}{4}n\le\dfrac{2n}{5}+3\).
Paso 3: Sumar términos en lado izquierdo: \(\dfrac{4}{4}n+\dfrac{3}{4}n=\dfrac{7}{4}n\), entonces \(\dfrac{7}{4}n\le\dfrac{2n}{5}+3\).
Paso 4: Multiplicar por 20 (mcm 4 y 5): \(20\cdot\dfrac{7}{4}n\le20\cdot\dfrac{2n}{5}+20\cdot3\).
Paso 5: \(5\cdot7n\le4\cdot2n+60\Rightarrow35n\le8n+60\).
Paso 6: Restar \(8n\) en ambos lados: \(27n\le60\).
Paso 7: \(n\le\dfrac{60}{27}=\dfrac{20}{9}\approx2.22\).
Paso 8: Buscamos el mayor entero positivo que cumpla: \(n\le2.22\Rightarrow n_{max}=2\).
Resultado final: \( \boxed{2} \)