MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 66 – Resuelto 0

Pregunta a) Identifico la propiedad que no se ha empleado de la manera correcta al resolver la operación \(\dfrac{3}{2}-2\div\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{10}{11}\).

Respuesta:
Paso 1: Regla que aplica: La propiedad asociativa no se puede aplicar a la resta ni a la división. Es decir, \((a-b)-c\neq a-(b-c)\) y \((a\div b)\div c\neq a\div(b\div c)\).
Paso 2: Si se cambia la agrupación sin cuidado se altera el resultado porque resta y división no son asociativas. Por ejemplo, si se agrupa como \((\tfrac{3}{2}-2)\div(\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{4})\) se obtiene un resultado distinto al de realizar primero la división \(2\div\tfrac{1}{5}\).
Paso 3: Concluimos que la propiedad que se aplicó incorrectamente es la propiedad asociativa (o la idea de que podemos reagrupar términos libremente en restas y divisiones).

Pregunta b) Expreso la operación con paréntesis de manera que el resultado sea correcto (es decir, igual a \(\tfrac{10}{11}\)).

Respuesta:
Paso 1: Regla que aplica: Para obtener \(\tfrac{10}{11}\) debemos agrupar la expresión de modo que la división actúe sobre las dos diferencias: usamos \((a-b)\div(c-d)\).
Paso 2: Planteo los paréntesis: \((\tfrac{3}{2}-2)\div(\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{4})\).
Paso 3: Calculo el numerador: \(\tfrac{3}{2}-2=\tfrac{3}{2}-\tfrac{4}{2}=\tfrac{3-4}{2}=\tfrac{-1}{2}\).
Paso 4: Calculo el denominador: \(\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{4}{20}-\tfrac{15}{20}=\tfrac{4-15}{20}=\tfrac{-11}{20}\).
Paso 5: Realizo la división: \(\tfrac{-1}{2}\div\tfrac{-11}{20}=\tfrac{-1}{2}\cdot\tfrac{20}{-11}\).
Paso 6: Simplifico signos y factores: \(\tfrac{-1}{2}\cdot\tfrac{20}{-11}=\tfrac{(-1)\cdot 20}{2\cdot(-11)}=\tfrac{20}{22}\).
Paso 7: Simplifico por 2: \(\tfrac{20}{22}=\tfrac{10}{11}\).
Resultado final: \(\boxed{(\tfrac{3}{2}-2)\div(\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{4})=\tfrac{10}{11}}\)