Página 67 - ejercicios
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MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 67 – Resuelto 0
Dos ejercicios: comparar raíces y resolver un problema que involucra regalos por cantidad comprada. Para comparar expresiones con raíces conviene comparar sus cuadrados (porque la función x↦x^2 es creciente para números positivos). Para problemas de compra, traducimos las palabras a una ecuación y resolvemos para la cantidad comprada; la inversión es esa cantidad multiplicada por el precio por unidad.
Regla para comparar raíces: Si a,b>0 entonces comparar a\sqrt{m} y b\sqrt{n} puede hacerse comparando (a\sqrt{m})^2 y (b\sqrt{n})^2.
Regla para problemas de compra con regalos: Si compra x unidades y le regalan r por cada k compradas, el total final es x + r\cdot (x/k) = x\left(1+\frac{r}{k}\right).
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 67.
Pregunta 24) Compruebo que \(2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}\). Realiza un gráfico en la recta numérica.
Respuesta:
Paso 1: Regla aplicada: comparar cuadrados para números positivos.
Paso 2: Elevar ambos términos al cuadrado: \((2\sqrt{7})^2 = 4\cdot 7\) y \((3\sqrt{5})^2 = 9\cdot 5\).
Paso 3: Calcular: \(4\cdot 7 = 28\).
Paso 4: Calcular: \(9\cdot 5 = 45\).
Paso 5: Como \(28 < 45\), se sigue que \((2\sqrt{7})^2 < (3\sqrt{5})^2\). Para números positivos esto implica \(2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}\).
Resultado final: \( \boxed{2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}}\)
Pregunta 25) Un vendedor compra cierto número de quintales de cebolla en $ _____ cada uno, y además le regalan 3 por cada _____ quintales que compra, recibiendo al final 527 quintales de cebolla. ¿Cuánto fue la inversión inicial del vendedor?
Respuesta:
Paso 1: Traducción a variables y regla: Sea \(p\) el precio por quintal (dólares), sea \(x\) el número de quintales que compró, y sea \(k\) el número de quintales que debe comprar para que le regalen 3. Entonces el total final es \(x + 3\cdot\frac{x}{k} = 527\).
Paso 2: Escribir la ecuación y factorizar \(x\): \(x\left(1 + \frac{3}{k}\right) = 527\).
Paso 3: Despejar \(x\): \(x = \displaystyle\frac{527\,k}{k+3}.\) Esta es la cantidad comprada en función de \(k\).
Paso 4: Observación importante: \(x\) debe ser entero y \(\frac{x}{k}\) debe ser entero (porque se dan 3 quintales por cada grupo entero de \(k\)). Por eso buscamos valores de \(k\) que hacen \(x\) entero. Como \(527 = 17\cdot 31\), se analizan divisores de \(527\) y de \(3\cdot 527\).
Paso 5: Valores de \(k\) que dan solución entera (procedimiento de divisibilidad): \(k = 14,\;28,\;48,\;90,\;524,\;1578\). Para cada uno calculamos \(x\):
– Si \(k=14\): \(x = \dfrac{527\cdot 14}{17} = \dfrac{31\cdot \cancel{17}\cdot 14}{\cancel{17}} = 31\cdot 14 = 434\.\)
– Si \(k=28\): \(x = \dfrac{527\cdot 28}{31} = \dfrac{17\cdot \cancel{31}\cdot 28}{\cancel{31}} = 17\cdot 28 = 476\.\)
– Si \(k=48\): \(x = \dfrac{527\cdot 48}{51} = \dfrac{527\cdot 16}{17} = \dfrac{31\cdot \cancel{17}\cdot 16}{\cancel{17}} = 31\cdot 16 = 496\.\) (se simplificó \(48/51=16/17\)).
– Si \(k=90\): \(x = \dfrac{527\cdot 90}{93} = \dfrac{527\cdot 30}{31} = \dfrac{17\cdot \cancel{31}\cdot 30}{\cancel{31}} = 17\cdot 30 = 510\.\)
– Si \(k=524\): \(x = \dfrac{527\cdot 524}{527} = 524\.\) (alias, compró 524 y le dieron 3 porque solo hizo un grupo de 524).
– Si \(k=1578\): \(x = \dfrac{527\cdot 1578}{1581} = 526\.\) (caso análogo, casi no regalan grupos completos).
Paso 6: La inversión inicial es el número de quintales comprados multiplicado por el precio por quintal: \(\text{inversión} = x\cdot p\). Como el enunciado no da el precio ni el número exacto en los espacios, la respuesta general es esa. Si se interpreta, por ejemplo, que la frase completada es “le regalan 3 por cada 14 quintales”, entonces \(x=434\) y la inversión es \(434\cdot p\).
Resultado final (forma general): \( \boxed{\text{Inversión inicial} = x\cdot p = \frac{527\,k}{k+3}\cdot p }\)
Resultado final (si se completa con “3 por cada 14 quintales”): \( \boxed{\text{Inversión} = 434\cdot p }\)
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 67.:
- \(2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}\)
- General: \(\text{Inversión} = x\cdot p = \dfrac{527\,k}{k+3}\cdot p\). Si se interpreta “3 por cada 14” entonces \(x=434\) y la inversión es \(434\cdot p\).
