MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 70 – Resuelto 0

Pregunta 1) ¿Cuál es el valor de \(2P(2)-\tfrac{1}{2}P(4)\)?

Respuesta:
Paso 1: Regla aplicada: Evaluación de polinomios: sustituir y simplificar.
Paso 2: Primero simplificamos la expresión dada para \(P(x)\).
Paso 2.1: \((2x-x)=x\).
Paso 2.2: \(x\cdot 2x=2x^{2}\).
Paso 2.3: \((2x^{2}-x)\cdot 2x=4x^{3}-2x^{2}\).
Paso 2.4: Restamos 2: \(4x^{3}-2x^{2}-2\).
Paso 2.5: Multiplicamos por \(2x\): \(P(x)=(4x^{3}-2x^{2}-2)\cdot 2x=8x^{4}-4x^{3}-4x\).
Paso 3: Simplificamos \(Q(x)\) para usar en los siguientes incisos (se muestra aquí porque aparece en el ejercicio b):
Paso 3.1: \(Q(x)=\tfrac{1}{2}x – x\cdot\tfrac{3}{4}(x-6)\).
Paso 3.2: \(Q(x)=\tfrac{1}{2}x – \tfrac{3}{4}(x^{2}-6x)\).
Paso 3.3: \(Q(x)=\tfrac{1}{2}x – \tfrac{3}{4}x^{2} + \tfrac{18}{4}x\).
Paso 3.4: Sumamos los términos en \(x\): \(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{18}{4}x=\tfrac{1}{2}x + \tfrac{9}{2}x=\tfrac{1+9}{2}x=\tfrac{10}{2}x=5x\).
Paso 3.5: Entonces \(Q(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+5x\).
Paso 4: Evaluamos \(P(2)\) y \(P(4)\).
Paso 4.1: \(P(2)=8(2)^{4}-4(2)^{3}-4(2)=8\cdot16-4\cdot8-8=128-32-8=88\).
Paso 4.2: \(P(4)=8(4)^{4}-4(4)^{3}-4(4)=8\cdot256-4\cdot64-16=2048-256-16=1776\).
Paso 5: Calculamos la expresión pedida:\(2P(2)-\tfrac{1}{2}P(4)=2\cdot88 – \tfrac{1}{2}\cdot1776=176-888=-712\).
Resultado final: \( \boxed{-712} \)

Pregunta 2) Explico si es verdadera la expresión: \(\dfrac{7}{5} \div \dfrac{7}{2} \cdot Q(1) \ge P(3) – Q(1)\)?

Respuesta:
Paso 1: Regla aplicada: Evaluación de polinomios y operaciones con fracciones. \(a\div b = a\cdot\tfrac{1}{b}\).
Paso 2: Simplificamos la fracción \(\dfrac{7}{5} \div \dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{2}{7}=\cancel{7}/5 \cdot 2/\cancel{7}=\dfrac{2}{5}\).
Paso 3: Evaluamos \(Q(1)\) usando \(Q(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+5x\) (ya simplificado).
Paso 3.1: \(Q(1)=-\tfrac{3}{4}\cdot1^{2}+5\cdot1=-\tfrac{3}{4}+5= -\tfrac{3}{4}+\tfrac{20}{4}=\tfrac{17}{4}\).
Paso 4: Calculamos el lado izquierdo: \(\dfrac{2}{5}\cdot Q(1)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{17}{4}=\dfrac{34}{20}=\dfrac{17}{10}\).
Paso 5: Evaluamos \(P(3)\) usando \(P(x)=8x^{4}-4x^{3}-4x\).
Paso 5.1: \(P(3)=8\cdot3^{4}-4\cdot3^{3}-4\cdot3=8\cdot81-4\cdot27-12=648-108-12=528\).
Paso 6: Calculamos el lado derecho: \(P(3)-Q(1)=528-\tfrac{17}{4}=\tfrac{528\cdot4-17}{4}=\tfrac{2112-17}{4}=\tfrac{2095}{4}\).
Paso 7: Comparamos numéricamente: \(\dfrac{17}{10}=1.7\) y \(\dfrac{2095}{4}=523.75\).
Conclusión: \(1.7\ge523.75\) es falso, por lo tanto la expresión es falsa.
Resultado final: \( \boxed{\text{Falso}} \)

Pregunta 3) El grado del polinomio \(P(x)\) es menor que el grado del polinomio \(Q(x)\).

Respuesta:
Paso 1: Regla aplicada: El grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable con coeficiente distinto de cero.
Paso 2: Para \(P(x)=8x^{4}-4x^{3}-4x\) el mayor exponente es \(4\), luego el grado de \(P\) es \(4\).
Paso 3: Para \(Q(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+5x\) el mayor exponente es \(2\), luego el grado de \(Q\) es \(2\).
Paso 4: Comparamos: grado de \(P\) es \(4\) y grado de \(Q\) es \(2\). Entonces no se cumple que el grado de \(P\) sea menor que el de \(Q\).
Resultado final: \( \boxed{\text{Falso (grado }P=4\text{, grado }Q=2)} \)