Página 71 - ejercicios
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MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 71 – Resuelto 0
En esta página se trabajan conjuntos numéricos y se calculan expresiones con una función polinómica. Para las expresiones tipo “calcular P(a)”, se sustituye directamente en la fórmula dada: $$P(x)=2x^2-1.$$
Además, para las potencias en expresiones como \(\sqrt{2}-1\) o \(-\sqrt{3}\), se ubican en el conjunto correspondiente (racionales, irracionales).
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 71.
Pregunta 1) Dado el conjunto \(S = \{\pi; e; -\sqrt{3}\}\), ubica los elementos en el tipo de número (racional o irracional).
Respuesta:
Paso 1: Identifico que \(\pi\) y \(e\) son irracionales (no se pueden escribir como fracción de enteros).
Paso 2: Verifico que \(\sqrt{3}\) es irracional, por lo tanto \(-\sqrt{3}\) también es irracional (el signo menos no cambia la irracionalidad).
Resultado final: \(\boxed{\pi\in\text{irracionales},\ e\in\text{irracionales},\ -\sqrt{3}\in\text{irracionales}}\)
Pregunta 2) Dado el conjunto \(M = \{\sqrt{2}-1;\ -\tfrac{1}{2};\ \sqrt{2-2^2}\}\) (según se lee en la página: \(\sqrt{2}-1\), luego \(-1/2= -\tfrac{1}{2}\), y aparece \(\sqrt{2-2^2}\)), calcula el tercer elemento y clasifícalo como racional/irracional.
Respuesta:
Paso 1: Interpreto el tercer elemento como \(\sqrt{2-2^2}\).
Paso 2: Calculo dentro de la raíz: \(2-2^2=2-4=-2\).
Paso 3: Entonces el tercer elemento sería \(\sqrt{-2}\), que no es un número real.
Resultado final: \(\boxed{\sqrt{2-2^2}=\sqrt{-2}\ \,\text{(no real, es imaginario en números complejos)}}\)
Pregunta 3) Sea \(P(x)=2x^2-1\). Calcula \(E= p(2)\,p(1)\,p(0)\,p(1)\,p(-2)+p(-1)\) (es decir, multiplicas los valores indicados y luego sumas \(p(-1)\)).
Respuesta:
Paso 1: Sustituyo en la regla \(P(x)=2x^2-1\) para calcular cada valor.
Paso 2: \(P(2)=2\cdot 2^2-1=2\cdot 4-1=8-1=7\).
Paso 3: \(P(1)=2\cdot 1^2-1=2\cdot 1-1=2-1=1\).
Paso 4: \(P(0)=2\cdot 0^2-1=0-1=-1\).
Paso 5: \(P(-2)=2\cdot(-2)^2-1=2\cdot 4-1=8-1=7\).
Paso 6: \(P(-1)=2\cdot(-1)^2-1=2\cdot 1-1=1\).
Paso 7: Ahora calculo la parte de multiplicación: \(P(2)\,P(1)\,P(0)\,P(1)\,P(-2)=7\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot 7\).
Paso 8: Multiplico: \(7\cdot 1=7\), luego \(7\cdot(-1)=-7\), luego \(-7\cdot 1=-7\), y finalmente \(-7\cdot 7=-49\).
Paso 9: Sumo \(P(-1)=1\): \(E=-49+1=-48\).
Resultado final: \(\boxed{E=-48}\)
Evaluar un polinomio y operar con sus valores
Regla de evaluación: Si \(P(x)=2x^2-1\), entonces \(P(a)=2a^2-1\) (se sustituye \(x=a\)).
Regla de operaciones: Para expresiones con sumas/restas como \(P(1)-P(-1)+P(2)-P(-2)\), primero se calculan los valores y luego se combinan.
Pregunta 4) Sea \(P(x)=2x^2-1\). Calcula \(D=P(1)-P(-1)+P(2)-P(-2)\).
Respuesta:
Paso 1: Calculo \(P(1)=2\cdot 1^2-1=2-1=1\).
Paso 2: Calculo \(P(-1)=2\cdot (-1)^2-1=2\cdot 1-1=1\).
Paso 3: Calculo \(P(2)=2\cdot 2^2-1=2\cdot 4-1=8-1=7\).
Paso 4: Calculo \(P(-2)=2\cdot (-2)^2-1=2\cdot 4-1=7\).
Paso 5: Sustituyo en la expresión: \(D=P(1)-P(-1)+P(2)-P(-2)=1-1+7-7\).
Paso 6: Agrupo para ver cancelaciones: \(1-1=0\) y \(7-7=0\).
Resultado final: \(\boxed{D=0}\)
Pregunta 5) Sea \(P(x)=2x^2-1\). Calcula la composición \(T=P(P(P(x)))\) y escribe el resultado como polinomio en términos de \(x\).
Respuesta:
Paso 1: Primero calculo \(P(x)=2x^2-1\).
Paso 2: Calculo \(P(P(x))\):
Paso 3: \(P(P(x))=2\,(P(x))^2-1=2\,(2x^2-1)^2-1\).
Paso 4: Expando \((2x^2-1)^2=(2x^2)^2-2\cdot(2x^2)\cdot 1+1^2=4x^4-4x^2+1\).
Paso 5: Sustituyo: \(P(P(x))=2(4x^4-4x^2+1)-1\).
Paso 6: Multiplico y simplifico: \(P(P(x))=8x^4-8x^2+2-1=8x^4-8x^2+1\).
Paso 7: Ahora calculo \(T=P(P(P(x)))=P\big(P(P(x))\big)=2\,(P(P(x)))^2-1\).
Paso 8: Entonces \(T=2\,(8x^4-8x^2+1)^2-1\).
Paso 9: Expando el cuadrado con \(A=8x^4\), \(B=-8x^2\), \(C=1\):
Paso 10: \((A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC\).
Paso 11: \(A^2=(8x^4)^2=64x^8\).
Paso 12: \(B^2=(-8x^2)^2=64x^4\).
Paso 13: \(C^2=1\).
Paso 14: \(2AB=2\,(8x^4)\,(-8x^2)=2\cdot(-64x^6)=-128x^6\).
Paso 15: \(2AC=2\,(8x^4)\cdot 1=16x^4\).
Paso 16: \(2BC=2\,(-8x^2)\cdot 1=-16x^2\).
Paso 17: Sumo: \((8x^4-8x^2+1)^2=64x^8-128x^6+(64x^4+16x^4)-16x^2+1\).
Paso 18: \(64x^4+16x^4=80x^4\), entonces queda \(=64x^8-128x^6+80x^4-16x^2+1\).
Paso 19: Multiplico por 2 y resto 1: \(T=2(64x^8-128x^6+80x^4-16x^2+1)-1\).
Paso 20: \(T=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+2-1\).
Paso 21: \(T=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\).
Resultado final: \(\boxed{T=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1}\)
Pregunta 6) Sea \(c\) una constante y \(P(x)=2x^2-1\). Calcula \(c=P(P(P(x)))\) (es decir, confirma el valor de la composición \(P(P(P(x)))\) que obtuviste antes, y escríbelo).
Respuesta:
Paso 1: Reutilizo el resultado ya calculado para \(T=P(P(P(x)))\).
Paso 2: Por definición, \(c\) representa esa misma expresión.
Resultado final: \(\boxed{c=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1}\)
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 71.:
- Todos los elementos de S son irracionales: \(\pi\), \(e\), \(-\sqrt{3}\).
- El tercer elemento es \(\sqrt{2-2^2}=\sqrt{-2}\) (no es número real).
- \(E=-48\).
- \(D=0\).
- \(T=P(P(P(x)))=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\).
- \(c=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\).
