MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 78 – Resuelto 0

Pregunta 16 a) Completo: x^2 + _____ + 8 = (x + 2)·(x + _____)

Respuesta:
Paso 1: Aplico la regla de trinomio: si (x+2)(x+k)=x^2+(2+k)x+2k.
Paso 2: Igualo el término independiente: 2k=8 \Rightarrow k=4.
Paso 3: El término en x será 2+k=2+4=6, por tanto el trinomio es x^2+6x+8.
Resultado final: \( \boxed{\;x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\; }\)

Pregunta 16 b) Completo: _____ + 10x + 9 = (x + _____)·(x + 9)

Respuesta:
Paso 1: Considero (x+a)(x+9)=x^2+(a+9)x+9a.
Paso 2: Igualo coeficientes: a+9=10 \Rightarrow a=1. Compruebo 9a=9·1=9 coincide con el término independiente.
Paso 3: El primer término es x^2, por tanto la igualdad es x^2+10x+9=(x+1)(x+9).
Resultado final: \( \boxed{\;x^2+10x+9=(x+1)(x+9)\; }\)

Pregunta 16 c) Completo: 25 + _____ m^2 n^2 = (_____ + 5)^2

Respuesta:
Paso 1: Reconozco un cuadrado perfecto: (mn+5)^2 = (mn)^2 + 2\cdot mn\cdot5 + 5^2 = m^2n^2 +10mn +25.
Paso 2: Por tanto el término que falta es 10mn y la expresión dentro del cuadrado es mn + 5.
Resultado final: \( \boxed{\;25+10mn+m^2n^2=(mn+5)^2\; }\)

Pregunta 16 d) Completo: _____ − 14n + _____ = (7n − _____)^2

Respuesta:
Paso 1: Desarrollo (7n – a)^2 = 49n^2 -14a n + a^2.
Paso 2: Igualo el coeficiente de n: -14a = -14 \Rightarrow a=1.
Paso 3: Entonces los términos son 49n^2 -14n +1 = (7n-1)^2.
Resultado final: \( \boxed{\;49n^2-14n+1=(7n-1)^2\; }\)

Pregunta 17 a) Fernanda desea pintar una pared rectangular cuya superficie puede ser expresada como \(a^2n-8an+15\).

Respuesta:
Paso 1: Identifico un trinomio en la forma \(t^2-8t+15\) con \(t=an\).
Paso 2: Factorizo usando la regla de trinomio: t^2-8t+15=(t-3)(t-5).
Paso 3: Sustituyo t=an: \((an-3)(an-5)\). Por tanto las dimensiones de la pared son \(an-3\) y \(an-5\).
Resultado final: \( \boxed{\;\text{Dimensiones }=(an-3)\times(an-5)\; }\)

Pregunta 17 a) (si se sabe que a=5 m y b=2 m) (Aquí interpretamos que la letra \(n\) corresponde a \(b\).)

Respuesta:
Paso 1: Sustituyo \(a=5\) y \(n=b=2\) en las dimensiones \(an-3\) y \(an-5\).
Paso 2: Calculo: an=5\cdot2=10.
Paso 3: Entonces 10-3=7 m y 10-5=5 m.
Resultado final: \( \boxed{\;7\text{ m }\times5\text{ m}\; }\)

Pregunta 17 a) (Costo de pintura) Escribo expresión algebraica para costo: con cada galón se pinta 3 m^2 y el galón cuesta $3{,}5.

Respuesta:
Paso 1: Área = (an-3)(an-5).
Paso 2: Número de galones = \(\dfrac{\text{Área}}{3} = \dfrac{(an-3)(an-5)}{3}\).
Paso 3: Costo total = número de galones \(\times 3{,}5 = \dfrac{(an-3)(an-5)}{3}\cdot 3{,}5\).
Paso 4: Escribo en fracciones: 3{,}5=7/2, entonces costo = \(\dfrac{(an-3)(an-5)}{3}\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{6}(an-3)(an-5)\).
Resultado final: \( \boxed{\;\text{Costo}=\dfrac{7}{6}(an-3)(an-5)\; }\)

Pregunta 17 b) Juan desea construir una cisterna cuadrangular con volumen \(x^3-6x^2+11x-6\).

Respuesta (Factorizo la expresión):
Paso 1: Busco raíces enteras posibles: pruebo x=1: 1-6+11-6=0, por tanto x=1 es raíz.
Paso 2: Divido el polinomio por (x-1) (división sintética): cociente = x^2-5x+6.
Paso 3: Factorizo el cuadrático: x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
Resultado final (factorización): \( \boxed{\;(x-1)(x-2)(x-3)\; }\)

Pregunta 17 b) (Argumento: ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar x?)

Respuesta:
Paso 1: La factorización muestra raíces en x=1,2,3; para esos valores el volumen es cero (no sería una cisterna con volumen positivo).
Paso 2: Para que el volumen \(V=(x-1)(x-2)(x-3)\) sea positivo y las dimensiones sean físicamente válidas, todos los factores deben dar un producto positivo. Si x>3, los tres factores son positivos y V>0.
Paso 3: Por tanto el valor mínimo que puede tomar x para obtener volumen positivo es cualquier número mayor que 3; los valores 1, 2 o 3 dan volumen cero (no válidos como dimensiones positivas).
Resultado final: \( \boxed{\;x>3\; }\)

Pregunta 17 b) (Aproximo el volumen si \(x=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}\))

Respuesta:
Paso 1: Calculo numérico: \(x=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}=2-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx1{,}4226497307.\)
Paso 2: Uso la factorización V=(x-1)(x-2)(x-3). Calculo las diferencias: x-1\approx0{,}4226497307, x-2\approx-0{,}5773502693, x-3\approx-1{,}5773502693.
Paso 3: Multiplico: V\approx0{,}4226497307\cdot(-0{,}5773502693)\cdot(-1{,}5773502693)\approx0{,}3849001795.\)
Paso 4: Redondeo a la milésima: V\approx0{,}385 m^3.
Resultado final: \( \boxed{\;V\approx0{,}385\ \text{m}^3\; }\)