MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 77 – Resuelto 0

Pregunta a) Resuelve y grafica: 2x + 10 \le 2x + 2 \le x + 11

Respuesta:
Paso 1: Interpretamos la cadena como dos inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente: 1) 2x + 10 \le 2x + 2 y 2) 2x + 2 \le x + 11.
Paso 2: Resolvemos la primera: 2x + 10 \le 2x + 2.
Paso 3: Restamos 2x de ambos lados: \(\cancel{2x}+10-\cancel{2x} \le \cancel{2x}+2-\cancel{2x}\) \Rightarrow 10 \le 2.
Paso 4: \(10 \le 2\) es falso, no hay ningún x que cumpla la primera inecuación.
Paso 5: Con la primera ya imposible, la cadena completa no tiene solución (porque ambas desigualdades deben cumplirse a la vez).
Resultado final: \(\boxed{\text{Solución vacía }(\varnothing)}\)

Pregunta b) Resuelve: 3x – 1 \ge 7 + x < 1 + 2x (interpretado como la cadena: 3x – 1 \ge 7 + x \quad y \quad 7 + x < 1 + 2x)

Respuesta:
Paso 1: Aplicamos la regla de resolver inecuaciones lineales aislando x.
Paso 2: Primera parte: 3x – 1 \ge 7 + x.
Paso 3: Restamos x en ambos lados: \(3x -1 -\cancel{x} \ge 7 + \cancel{x} -\cancel{x}\) \Rightarrow 2x -1 \ge 7.
Paso 4: Sumamos 1: \(2x \ge 8\).
Paso 5: Dividimos por 2 (positivo, no se invierte la desigualdad): \(x \ge 4\).
Paso 6: Segunda parte: 7 + x < 1 + 2x.
Paso 7: Restamos x: \(7 + \cancel{x} -\cancel{x} < 1 + 2x -\cancel{x}\) \Rightarrow 7 < 1 + x.
Paso 8: Restamos 1: \(6 6\).
Paso 9: La cadena exige que se cumplan ambas: \(x \ge 4\) y \(x > 6\).
Paso 10: Intersección: \(x > 6\) (porque todo número mayor que 6 cumple también \(x\ge4\)).
Resultado final: \(\boxed{x>6}\)

Pregunta c) Resuelve y grafica (interpretación razonable):
\(y \le -\tfrac{2}{3};\quad x + 2y \ge -\tfrac{2}{3};\quad x – 2y \le 2\).

Respuesta:
Paso 1: Usamos la regla: para desigualdades en dos variables, pasamos a formar las rectas frontera y determinamos el semiplano (mayor/menor).
Paso 2: Primera inecuación: \(y \le -\tfrac{2}{3}\). Frontera: \(y = -\tfrac{2}{3}\). Región: valores de y por debajo o iguales a esa recta.
Paso 3: Segunda: \(x + 2y \ge -\tfrac{2}{3}\). Despejamos y: \(2y \ge -\tfrac{2}{3} – x\) \Rightarrow \(y \ge -\tfrac{x}{2} – \tfrac{1}{3}\). Frontera: \(y = -\tfrac{x}{2} – \tfrac{1}{3}\). Región: por encima o sobre esa recta.
Paso 4: Tercera: \(x – 2y \le 2\). Pasamos 2y al otro lado: \(-2y \le 2 – x\). Multiplicamos por -1 (invertir desigualdad): \(2y \ge x – 2\) \Rightarrow \(y \ge \tfrac{x}{2} -1\). Frontera: \(y = \tfrac{x}{2} -1\). Región: por encima o sobre esa recta.
Paso 5: Para que haya solución, y debe cumplir simultáneamente: \(y \le -\tfrac{2}{3}\) y \(y \ge -\tfrac{x}{2} – \tfrac{1}{3}\) y \(y \ge \tfrac{x}{2} -1\). Es decir, el máximo de las dos cotas inferiores debe ser \le -\tfrac{2}{3}.
Paso 6: Imponemos cada cota inferior menor o igual a \(-\tfrac{2}{3}\):
\( -\tfrac{x}{2} – \tfrac{1}{3} \le -\tfrac{2}{3} \) y \( \tfrac{x}{2} -1 \le -\tfrac{2}{3} .\) Resolvemos ambas.
Paso 7: Para la primera: \( -\tfrac{x}{2} – \tfrac{1}{3} \le -\tfrac{2}{3} \) => sumamos \(\tfrac{1}{3}\): \( -\tfrac{x}{2} \le -\tfrac{1}{3} \) => multiplicamos por -2 (invertir desigualdad): \( x \ge \tfrac{2}{3} .\)
Paso 8: Para la segunda: \( \tfrac{x}{2} -1 \le -\tfrac{2}{3} \) => sumamos 1: \( \tfrac{x}{2} \le \tfrac{1}{3} \) => multiplicamos por 2: \( x \le \tfrac{2}{3} .\)
Paso 9: Intersección de las dos condiciones en x: \( x \ge \tfrac{2}{3} \) y \( x \le \tfrac{2}{3} \) da \( x = \tfrac{2}{3} .\)
Paso 10: Con \(x = \tfrac{2}{3}\), evaluamos las cotas para y: \( -\tfrac{x}{2} – \tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{3} – \tfrac{1}{3} = -\tfrac{2}{3} \) y \( \tfrac{x}{2} -1 = \tfrac{1}{3} -1 = -\tfrac{2}{3}.\) Entonces las dos cotas inferiores valen \(-\tfrac{2}{3}\) y la cota superior es también \(-\tfrac{2}{3}\).
Paso 11: Por tanto la única solución que cumple las tres inecuaciones es el punto \(\big(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{2}{3}\big)\).
Resultado final: \(\boxed{\left(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{2}{3}\right)}\).
(Gráfica: las tres rectas se cortan en ese punto; las regiones indicadas por las desigualdades sólo se intersectan en ese punto.)

Pregunta d) Resuelve y grafica el sistema: x > y ; x + y > 8 ; x \ge 1 ; y \ge -1.

Respuesta:
Paso 1: Identificamos las fronteras y el semiplano asociado para cada inecuación:
Paso 2: Fronteras y regiones:

• \(x>y\): frontera \(x=y\). Región: los puntos donde la abscisa es mayor que la ordenada (lado donde \(x-y>0\)).

• \(x+y>8\): frontera \(y=8-x\). Región: puntos por encima de esa recta (suma mayor que 8).

• \(x\ge1\): frontera vertical \(x=1\). Región: a la derecha o sobre esa recta.

• \(y\ge-1\): frontera horizontal \(y=-1\). Región: arriba o sobre esa recta.
Paso 3: Hallamos intersecciones relevantes de fronteras para ubicar vértices:

• Intersección de \(x=1\) con \(x+y=8\): \(1+y=8\) => \(y=7\) da punto \((1,7)\).

• Intersección de \(y=-1\) con \(x+y=8\): \(x-1=8\) => \(x=9\) da punto \((9,-1)\).

• Intersección de \(x+y=8\) con \(x=y\): sustituyendo \(2x=8\) => \(x=4,y=4\). Este punto está en la frontera de \(x=y\) pero la condición exige \(x>y\) (estricta), por lo tanto la recta \(x=y\) es límite no incluido.
Paso 4: Región solución: conjunto de puntos que cumplen simultáneamente las cuatro condiciones. Geométricamente es el área que está:

– por encima de la recta \(x+y=8\) (estricto),

– a la derecha de \(x=1\),

– arriba de \(y=-1\),

– y en el semiplano donde \(x>y\) (lado de la recta \(x=y\) con abscisa mayor que la ordenada).
Paso 5: Descripción final: es una región abierta respecto a la recta \(x+y=8\) y respecto a \(x=y\) (estas fronteras no se incluyen cuando la desigualdad es estricta), pero incluye los puntos sobre \(x=1\) y \(y=-1\) si satisfacen las otras desigualdades (por ejemplo el punto \((1,7)\) cumple todas excepto la estricta de \(x=y\), y sí pertenece porque \(1>7\) es falso así que \((1,7)\) no cumple \(x>y\); verificar punto a punto).
Resultado final: \(\boxed{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x+y>8,\ x>y,\ x\ge1,\ y\ge-1\}}\).
(Gráfica: sombrear la intersección de los semiplanos indicados; los vértices de la región de frontera se encuentran en \((9,-1)\) y en la recta \(x+y=8\) cortando el dominio permitido; la región es no acotada hacia la esquina superior derecha.)