Página — Matematica 8° Secundaria (pág. 16)

Un nuevo sistema numérico: los números irracionales

Lee con atención el siguiente texto, que presenta la demostración de que \sqrt{2} es un número no racional.

Para la demostración se utiliza la metodología conocida como Reducción al absurdo.Este consiste en decir un enunciado de forma contraria para que sea un enunciado opuesto al original. Es decir, si afirmamos que"\sqrt{2} es un número no racional"; de forma contraria dicho enunciado es"\sqrt{2} la raiz cuadrada de 2 es un número racional"

A continuación se muestra dicha demostración:

Supongamos que \sqrt{2} es racional, es decir \sqrt{2}=\frac{p}{q} donde p y q son números enteros,\frac{p}{q} es irreductible).\mathrm{q}\neq0

Entonces:\sqrt{2}=\frac{p}{q}

Multiplicando por g a ambos lados de laigualdad:q\ \sqrt{2}=p

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:q^{2}(\sqrt{2})^{2}=p^{2}

Aplicando propiedades de la potenciación se tiene:2q^{2}=p^{2}

Como se observa 2q^{2} es necesariamente un número par, lo cual implica que p^{2} es también par y esto a su vez quiere decir que p es necesariamente par. Entonces p se puede escribir como p=2n y a que esta es la forma de representar cualquier número par.

Reemplazando se tendría que la igualdad quedaría:

2q^{2}=(2n)^{2}

Guia 1·Postprimaria Rural

A Aprendamos bD algo nuevo