Página — Matematica 9° Secundaria (pág. 157)

1. Analiza el siguiente ejemplo, en donde aplicaremos las propiedades de los logaritmos:

\log\left(\frac{x^{2}}{y^{3}z^{4}}\right)

Aplicando la propiedad del cociente, obtenemos:

\log x^{2}-\log(y^{3}z^{4})

Aplicando la propiedad del producto, obtenemos:

\log x^{2}-\left(\log y^{3}+\log z^{4}\right)

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia, y destruyendo paréntesis, obtenemos:

2\log x-3\log y-4\log z

2. Analiza el siguiente ejemplo, en donde aplicaremos las propiedades de los logaritmos, para simplificar la expresión: log 5+\log4

Aplicando la propiedad del producto, obtenemos:

\log(5\times4)=\log20

3. Simplificar la expresión: log100–log5 + log3

Aplicando la propiedad del cociente,

obtenemos:\log\left(\frac{100}{5}\right)+\log3 ,simplificamos y

Aplicando la propiedad del producto, obtene \cos:=\log(20\cdot\dot{3})=\log60

Ecuación logarítmica

Una ecuación logarítmica es aquella en la cual la incógnita (o sea la variable), se encuentra en un logaritmo.

Para resolver una ecuación logarítmica se debe hallar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad. Para esto, se aplican las propiedades de los logaritmos y el concepto de logaritmo.

Solucionemos las siguientes ecuaciones logarítmicas:

1.\log_{4}x=5

Aplicando el concepto de logaritmo, podemos despejar a x:4^{5}=x , por lo tanto x=1,024

2. Solucionemos: log x+\log(x-3)=1

Aplicando la propiedad del producto:

\begin{aligned}\log(x(x-3))=1,\\\log(x^2-3x)=1.\end{aligned}

Aplicando el concepto de logaritmo, podemos despejar a x;\mathsf{Si} \log(x^{2}-3x)=1 entonces, 10^{1}=x^{2}-3x

Factorizando e igualando a cero:(x-5)(x+2)=0

Despejando x y encontrando las posibles soluciones tenemos:

\begin{aligned}(x-5)&=0intoces x=5\\(x+2)&=0entoces x=-2\end{aligned}

Como log ×, está definido para x>0 ,se tiene que x=-2 no es solución de la ecuación.

Por lo tanto, la única solución de la ecuación \log x+\log(x-3)=1,\quad\mathrm{es}\quad x=5

3. Solucionemos: log.2x-\log_{3}(x-3)=2

Aplicamos la propiedad del cociente:

\log_{3}\left(\frac{2x}{x-3}\right)=2

Aplicando el concepto de logaritmo, podemos

\mathrm{desp}\mathrm{a}\mathrm{~x}:3^{2}=\left(\frac{2x}{x-3}\right)\text{es decir}:9=\frac{2x}{x-3}

9(x-3)=2x (el término x-3 que está dividiendo,pasa a multiplicar)

9x-27=2x se efectúa la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

9x+2x=27

x=27

x=27/11 es la solución a la ecuación.

Tema 2 // Funciones y ecuacion logaritmicas

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Capítulo 2. Funciones exponencial y logaritmica