Calcular la velocidad de escape necesaria para que una sonda salga de la atmósfera marciana, sabiendo que el radio de Marte es aproximadamente 3{,}4 \times 10^{6} \, \text{m}.

1. La velocidad de escape se obtiene igualando la energía cinética mínima a la energía potencial gravitatoria en la superficie: \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{GMm}{R}.
2. Despejando v se obtiene la fórmula de la velocidad de escape: v = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}.
3. Datos: G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^{2}/\text{kg}^{2}, masa de Marte M = 6{,}39 \times 10^{23} \, \text{kg} y radio R = 3{,}4 \times 10^{6} \, \text{m} (equivale a 3\,400 \, \text{km}; el enunciado indica "3,4 kilómetros", lo que constituye una errata del texto).
4. Sustitución: v = \sqrt{\dfrac{2(6{,}67 \times 10^{-11})(6{,}39 \times 10^{23})}{3{,}4 \times 10^{6}}}.
5. Numerador: 2(6{,}67 \times 10^{-11})(6{,}39 \times 10^{23}) = 8{,}52 \times 10^{13}.
6. División: \dfrac{8{,}52 \times 10^{13}}{3{,}4 \times 10^{6}} = 2{,}51 \times 10^{7} \, \text{m}^{2}/\text{s}^{2}.
7. Raíz cuadrada: v = \sqrt{2{,}51 \times 10^{7}} \approx 5{,}0 \times 10^{3} \, \text{m/s}.
8. Verificación con la gravedad marciana (g_{M} = 3{,}71 \, \text{m/s}^{2}): v = \sqrt{2g_{M}R} = \sqrt{2(3{,}71)(3{,}4 \times 10^{6})} = \sqrt{2{,}52 \times 10^{7}} \approx 5{,}0 \times 10^{3} \, \text{m/s}.

Explicar la relación entre la distancia de los objetos del Cinturón de Kuiper al Sol y sus periodos orbitales, usando la Tercera Ley de Kepler.

1. La Tercera Ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita: T^{2} \propto a^{3}.
2. En forma explícita, para cuerpos en órbita alrededor del Sol: T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM_{\odot}} a^{3}, con M_{\odot} = 1{,}989 \times 10^{30} \, \text{kg}.
3. Comprobación con la Tierra (a = 1{,}496 \times 10^{11} \, \text{m}): T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}(1{,}496 \times 10^{11})^{3}}{(6{,}67 \times 10^{-11})(1{,}989 \times 10^{30})} = \dfrac{1{,}32 \times 10^{35}}{1{,}33 \times 10^{20}} \approx 9{,}96 \times 10^{14} \, \text{s}^{2}, de donde T \approx 3{,}16 \times 10^{7} \, \text{s} \approx 365 \, \text{días}, es decir, 1 año.
4. En unidades astronómicas y años la ley se simplifica a T^{2} = a^{3} (con a en UA y T en años).
5. Aplicación al Cinturón de Kuiper (objetos entre 30 y 50 UA): para a = 30 \, \text{UA}, T = 30^{3/2} \approx 164 \, \text{años}; para Plutón, a = 39{,}5 \, \text{UA}, T = 39{,}5^{3/2} \approx 248 \, \text{años}; para a = 50 \, \text{UA}, T = 50^{3/2} \approx 354 \, \text{años}.
6. Conclusión: cuanto mayor es la distancia al Sol, mayor es el periodo; los objetos más lejanos del Cinturón de Kuiper tardan siglos en completar una vuelta al Sol.

Respuesta orientativa: Por la Tercera Ley de Kepler, T^{2} = a^{3} (UA y años): a mayor distancia al Sol, mayor periodo. Un objeto a 30 UA tarda ~164 años y uno a 50 UA ~354 años.