Identificar el núclido o partícula (X) que falta en las expresiones de los procesos radiactivos.

En toda reacción nuclear se conservan:

• el número másico (suma de nucleones): A_{\text{antes}} = A_{\text{después}}
• el número atómico / carga nuclear: Z_{\text{antes}} = Z_{\text{después}}

La ecuación que aparece en los ítems i) a v) es (la página repite la misma expresión):

^{14}_{7}\mathrm{N} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow ^{109}_{47}\mathrm{X} + ^{17}_{8}\mathrm{O}

Paso 1. Conservación del número másico

14 + 4 = A + 17

A = 18 - 17 = 1

Paso 2. Conservación del número atómico

7 + 2 = Z + 8

Z = 9 - 8 = 1

Paso 3. Identificación del núclido

El núclido con Z = 1 y A = 1 es el hidrógeno-1, es decir, un protón:

^{14}_{7}\mathrm{N} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow ^{1}_{1}\mathrm{H} + ^{17}_{8}\mathrm{O}

Este es el histórico experimento de transmutación de Rutherford (1919), no un decaimiento espontáneo. La partícula impresa como ^{109}_{47}\mathrm{X} (plata, \mathrm{Ag}) no puede formarse a partir de N y He: viola la conservación de A y Z ( 14+4=18 \neq 109+17=126 ). Se trata de un error tipográfico o de plantilla del libro; la respuesta correcta por conservación es \mathrm{X} = ^{1}_{1}\mathrm{H}.

Ítems i) a v) — misma metodología

Si el libro mostrara expresiones distintas en cada ítem, el procedimiento es idéntico:

1. Sumar los A de la izquierda y restar los A conocidos de la derecha: A_X = \sum A_{\text{izq}} - \sum A_{\text{der}}.
2. Sumar los Z de la izquierda y restar los Z conocidos de la derecha: Z_X = \sum Z_{\text{izq}} - \sum Z_{\text{der}}.
3. Buscar en la tabla periódica el elemento con número atómico Z_X.
4. La radiación gamma (\gamma) no altera ni A ni Z: solo aporta energía; un decaimiento alfa reduce A en 4 y Z en 2 (^{4}_{2}\mathrm{He}), y un beta \beta^{-} mantiene A y aumenta Z en 1 (^{\ 0}_{-1}\mathrm{e}).

Aplicando el paso 1 a la expresión impresa ( Z=47 implica plata, ^{109}_{47}\mathrm{Ag} ), el balance correcto es \mathrm{X}=^{1}_{1}\mathrm{H}.

Un trozo de carbón de un vestigio egipcio contiene 30 g de carbono y tiene una actividad de ^{14}\mathrm{C} de 300 desintegraciones por minuto (dpm). Estimar la edad del carbón.

Datos: m = 30 \, \text{g}, R = 300 \, \text{dpm}, T_{1/2}(^{14}\mathrm{C}) = 5730 \, \text{años}.

Paso 1. Constante de desintegración

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730 \, \text{años}} = 1{,}21 \times 10^{-4} \, \text{año}^{-1}

Expresada en minutos ( 1 \, \text{año} = 5{,}256 \times 10^{5} \, \text{min} ):

\lambda = \frac{1{,}21 \times 10^{-4}}{5{,}256 \times 10^{5} \, \text{min}} = 2{,}30 \times 10^{-10} \, \text{min}^{-1}

Paso 2. Actividad en becquerel

R = 300 \, \text{dpm} = \frac{300}{60} = 5{,}0 \, \text{Bq}

Paso 3. Átomos de ^{14}\mathrm{C} presentes hoy

De R = \lambda N:

N = \frac{R}{\lambda} = \frac{300 \, \text{min}^{-1}}{2{,}30 \times 10^{-10} \, \text{min}^{-1}} = 1{,}30 \times 10^{12} \, \text{átomos de } ^{14}\mathrm{C}

Paso 4. Actividad del carbono moderno equivalente

El carbono moderno (vivo) tiene una actividad específica de aproximadamente 15 desintegraciones por minuto por gramo de carbono. Para 30 g:

R_0 = 15 \, \text{dpm/g} \times 30 \, \text{g} = 450 \, \text{dpm}

El fragmento conserva solo:

\frac{R}{R_0} = \frac{300}{450} = 0{,}667 \quad (\text{es decir, } 66{,}7\% \text{ del } ^{14}\mathrm{C} \text{ original})

Paso 5. Edad por la ley de desintegración

N = N_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow t = \frac{1}{\lambda} \ln\!\left(\frac{N_0}{N}\right) = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln\!\left(\frac{R_0}{R}\right)

Sustitución:

t = \frac{5730}{0{,}693} \ln\!\left(\frac{450}{300}\right) = 8268 \times \ln(1{,}5) = 8268 \times 0{,}4055

t \approx 3353 \, \text{años} \approx 3{,}4 \times 10^{3} \, \text{años}

Verificación: e^{-\lambda t} = e^{-(1{,}21\times10^{-4})(3353)} = e^{-0{,}4056} = 0{,}6667, que coincide con 300/450. ✓

Actividad complementaria

Se puede partir también de la abundancia natural del carbono-14 (aprox. 1{,}2 \times 10^{-12} átomos de ^{14}\mathrm{C} por átomo de carbono). Con N_{\text{C}} = \frac{30}{12} \times 6{,}022\times10^{23} = 1{,}51\times10^{24} átomos de carbono, se obtiene N_0 \approx 1{,}8\times10^{12} y t \approx 2{,}7\times10^{3} años. Ambos criterios ( \approx 2{,}7 a 3{,}4 \times 10^{3} años ) indican una edad de varios miles de años, coherente con un vestigio egipcio antiguo.