2.c) Determinar cuál de estas desintegraciones puede presentarse de manera espontánea y justificar: i) ^40_20Ca e^++^40_19K; ii) ^98_44Ru ^4_2He+^94_42Mo; iii) $^144_60Nd ^4_2He+^140_58Ce

Solo es espontánea: ^144_60Nd ^4_2He + ^140_58Ce (Q ≈ +1,9 MeV)

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Actividad: emisión radioactiva, semivida y desintegraciones espontáneas

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Respuesta rápida

2.a: $t \approx 10{,}1$ días. 2.b.i: $\lambda \approx 0{,}693\ \text{días}^{-1}$ . 2.b.ii: $T_{1/2}=1$ día. 2.c: solo la desintegración iii, $^{144}_{60}\text{Nd}\rightarrow ^{4}_{2}\text{He}+^{140}_{58}\text{Ce}$ , es espontánea ( $Q\approx+1{,}9\ \text{MeV}$ ); las i) y ii) tienen $Q<0$ .

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Solución — Página 240

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 2

Problema de emisión radioactiva y desintegraciones (Fuente: Serway, 2008).

Parte 2.a

Enunciado: Una muestra de yodo-131 ( $^{131}\text{I}$ ), con vida media $T_{1/2}=8{,}04$ días, tiene actividad $A_0=5{,}0\ \text{mCi}$ al embarcar. Al llegar al laboratorio médico la actividad es $A=2{,}1\ \text{mCi}$ . ¿Cuánto tiempo transcurrió?

La actividad sigue la ley de desintegración radioactiva:

$A = A_0\,e^{-\lambda t}$

Se despeja el tiempo aplicando logaritmo natural en ambos miembros:

$\ln\!\left(\frac{A}{A_0}\right) = -\lambda t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right)$

Se calcula la constante de desintegración a partir de la vida media:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}6931}{8{,}04\ \text{días}} = 0{,}0862\ \text{días}^{-1}$

Se sustituyen los valores de las actividades (las unidades mCi se cancelan):

$t = \frac{1}{0{,}0862\ \text{días}^{-1}}\,\ln\!\left(\frac{5{,}0\ \text{mCi}}{2{,}1\ \text{mCi}}\right) = \frac{\ln(2{,}381)}{0{,}0862}$

Se evalúa el logaritmo y se divide:

$\ln(2{,}381) = 0{,}8675 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{0{,}8675}{0{,}0862} = 10{,}06\ \text{días}$

Respuesta

$t \approx 10{,}1$ días (aproximadamente 10 días y 1,5 horas).

Parte 2.b

Enunciado: El número de núcleos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día.

Parte 2.b

i — Constante radioactiva

La ley de emisión radioactiva describe la disminución del número de núcleos:

$N = N_0\,e^{-\lambda t}$

Cuando $t = T_{1/2} = 1$ día, se cumple $N = \dfrac{N_0}{2}$ , así que:

$\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda (1\ \text{día})} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} = e^{-\lambda}$

Se aplica logaritmo natural:

$\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda \quad\Rightarrow\quad -\ln 2 = -\lambda$

$\lambda = \ln 2 = 0{,}6931\ \text{días}^{-1}$

Respuesta

$\lambda \approx 0{,}693\ \text{días}^{-1}$ .

Parte 2.b

ii — Período de semidesintegración

Se invierte la relación $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ :

$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

Se sustituye $\lambda = 0{,}6931\ \text{días}^{-1}$ :

$T_{1/2} = \frac{0{,}6931\ \text{días}}{0{,}6931\ \text{días}^{-1}} = 1\ \text{día}$

Respuesta

$T_{1/2} = 1$ día (coherente con el enunciado).

Parte 2.c

Enunciado: Determinar cuál de las siguientes desintegraciones pueden ocurrir de manera espontánea y justificar.

Regla: (1) deben conservarse el número másico $A$ y el número atómico $Z$ (con carga del electrón/positrón $=+1$ en unidades de $e$ ); (2) debe cumplirse $Q = \left[ m(\text{nucleo padre}) - \sum m(\text{productos}) \right]c^2 > 0$ , es decir, el núcleo padre debe ser más pesado que la suma de los productos.

Parte 2.c

i — $^{40}_{20}\text{Ca} \rightarrow e^{+} + ^{40}_{19}\text{K}$

Conservación de $A$ : $40 = 40 + 0$ ✓.
Conservación de $Z$ : $20 = 19 + 1$ ✓ (el positrón tiene carga $+1$ ).
Balance energético con masas atómicas: $m(^{40}\text{Ca}) = 39{,}96259\ \text{u}$ y $m(^{40}\text{K}) = 39{,}96400\ \text{u}$ .

$Q = \left[ m(^{40}\text{Ca}) - m(^{40}\text{K}) - 2m_e \right]c^2 = (39{,}96259 - 39{,}96400 - 0{,}00109)\ \text{u} < 0$

$Q \approx -2{,}6\ \text{MeV} < 0$ : la desintegración $\beta^{+}$ de $^{40}\text{Ca}$ no es energéticamente posible.

Respuesta

No puede ocurrir espontáneamente, porque $^{40}\text{K}$ es más pesado que $^{40}\text{Ca}$ (de hecho, es $^{40}\text{K}$ el que se desintegra por $\beta^{-}$ hacia $^{40}\text{Ca}$ ).

Parte 2.c

ii — $^{98}_{44}\text{Ru} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{94}_{42}\text{Mo}$

Conservación de $A$ : $98 = 4 + 94$ ✓.
Conservación de $Z$ : $44 = 2 + 42$ ✓.
Balance de masas: $m(^{98}\text{Ru}) = 97{,}90529\ \text{u}$ ; $m(^{94}\text{Mo}) + m(^{4}\text{He}) = 93{,}90509 + 4{,}00260 = 97{,}90769\ \text{u}$ .

$Q = (97{,}90529 - 97{,}90769)\ \text{u} = -0{,}00240\ \text{u} \approx -2{,}2\ \text{MeV} < 0$

Respuesta

No puede ocurrir espontáneamente: la suma de masas de los productos supera la masa del $^{98}\text{Ru}$ , un isótopo estable, por lo que $Q<0$ .

Parte 2.c

iii — $^{144}_{60}\text{Nd} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{140}_{58}\text{Ce}$

Conservación de $A$ : $144 = 4 + 140$ ✓.
Conservación de $Z$ : $60 = 2 + 58$ ✓.
Balance de masas: $m(^{144}\text{Nd}) = 143{,}91008\ \text{u}$ ; $m(^{140}\text{Ce}) + m(^{4}\text{He}) = 139{,}90544 + 4{,}00260 = 143{,}90804\ \text{u}$ .

$Q = (143{,}91008 - 143{,}90804)\ \text{u} = +0{,}00204\ \text{u} \approx +1{,}9\ \text{MeV} > 0$

Conclusión general del ítem c): solo la desintegración iii ( $^{144}_{60}\text{Nd} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{140}_{58}\text{Ce}$ ) puede presentarse de manera espontánea.

Respuesta

Sí puede ocurrir espontáneamente: es una desintegración alfa con $Q > 0$ (el $^{144}\text{Nd}$ es ligeramente más pesado que la suma de $^{140}\text{Ce}$ y $^{4}\text{He}$ ).

Contenido de la página

2. Leo el problema y realizo las actividades:

a) Una muestra del isótopo $^{131}\text{I}$ que tiene una vida media de 8,04 días, posee una actividad de 5,0 mCi en el tiempo de embarque. Al recibir la muestra en un laboratorio médico, la actividad es de 2,1 mCi. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre las dos mediciones?

Fuente: (Serway, 2008).

b) Si se sabe que el número de núcleos radioactivos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día, resuelvo lo siguiente:

i) Hallo la constante radioactiva mediante la ley de emisión radioactiva.
ii) Determino el período de semidesintegración.

c) Determino ¿cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea? Justifico mi respuesta.

i) $^{40}_{20}\text{Ca} \rightarrow e^{+} + ^{40}_{19}\text{K}$
ii) $^{98}_{44}\text{Ru} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{94}_{42}\text{Mo}$
iii) $^{144}_{60}\text{Nd} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{140}_{58}\text{Ce}$

Fuente: (Serway, 2008).

Ejemplos resueltos

Una muestra de $^{131}\text{I}$ con $T_{1/2}=8{,}04$ días pasa de $A_0=5{,}0$ mCi a $A=2{,}1$ mCi. ¿Cuánto tiempo transcurrió?

$\lambda = \frac{\ln 2}{8{,}04} = 0{,}0862\ \text{días}^{-1}$ ; $t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{5{,}0}{2{,}1} = \frac{0{,}8675}{0{,}0862} \approx 10{,}1$ días.

Una muestra se reduce a la mitad en un día. Hallar $\lambda$ y $T_{1/2}$ .

$\frac{1}{2}=e^{-\lambda}$ → $\lambda=\ln 2 = 0{,}693\ \text{días}^{-1}$ ; luego $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = 1$ día.

¿Puede ocurrir $^{144}_{60}\text{Nd}\rightarrow ^{4}_{2}\text{He}+^{140}_{58}\text{Ce}$ espontáneamente?

$A$ : $144=4+140$ ✓; $Z$ : $60=2+58$ ✓. $Q=(143{,}91008-143{,}90804)\ \text{u}=+0{,}00204\ \text{u}\approx+1{,}9\ \text{MeV}>0$ → sí, es espontánea.

Tablas (2)

Desintegración	A conservado	Z conservado	Q (MeV)	¿Espontánea?
$^{40}_{20}\text{Ca}\rightarrow e^{+}+^{40}_{19}\text{K}$	Sí ( $40=40$ )	Sí ( $20=19+1$ )	$\approx -2{,}6$	No
$^{98}_{44}\text{Ru}\rightarrow ^{4}_{2}\text{He}+^{94}_{42}\text{Mo}$	Sí ( $98=4+94$ )	Sí ( $44=2+42$ )	$\approx -2{,}2$	No
$^{144}_{60}\text{Nd}\rightarrow ^{4}_{2}\text{He}+^{140}_{58}\text{Ce}$	Sí ( $144=4+140$ )	Sí ( $60=2+58$ )	$\approx +1{,}9$	Sí

Magnitud	Valor	Símbolos usados	Unidades
Actividad inicial	5,0	$A_0$	mCi
Actividad final	2,1	$A$	mCi
Vida media	8,04	$T_{1/2}$	días
Constante de desintegración	$0{,}0862$	$\lambda$	días⁻¹
Tiempo transcurrido	$\approx 10{,}1$	$t$	días

Diagramas (2)

flowchart TD
    A[Datos del problema] --> B{¿Se conoce T<sub>1/2</sub>?}
    B -->|Sí| C[λ = ln2 / T<sub>1/2</sub>]
    B -->|No, se conoce que reduce a la mitad en t| D[λ = ln2 / t]
    C --> E[A = A₀·e^(−λt)]
    D --> E
    E --> F[Despejar t, λ o T<sub>1/2</sub> según el dato pedido]

flowchart TD
    R[Reacción nuclear propuesta] --> P[¿Conserva A y Z?]
    P -->|No| N[No ocurre: viola leyes de conservación]
    P -->|Sí| Q[Calcular Q = (Σm<sub>reactivos</sub> − Σm<sub>productos</sub>)c²]
    Q --> S{¿Q > 0?}
    S -->|Sí| SI[Puede ocurrir espontáneamente]
    S -->|No| NO[No puede ocurrir espontáneamente]

Fórmulas y ecuaciones

A = $A_0$ $e^{-\lambda$ t}

$\lambda$ = $\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Q>0 $\Rightarrow$ $\text{desintegración espontánea}$

A = $A_0\,e^{-\lambda$ t}

$\lambda$ = $\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

N = $N_0\,e^{-\lambda$ t}

t = $\frac{1}{\lambda}@@MATH_0@@\frac{A_0}{A}$ $\right)$

Q = $\left[ \sum m(\text{reactivos}) - \sum m(\text{productos}) \right]$ $c^2$

1\ $\text{u}$ = 931{,}5\ $\text{MeV}$ $/c^2$

1\ $\text{mCi}$ = 37\ $\text{MBq}$

Glosario (7)

Actividad (A): Número de desintegraciones por unidad de tiempo de una muestra radiactiva; se mide en becquerel (Bq) o curie (Ci); 1 mCi = 37 MBq.
Constante de desintegración (λ): Fracción de núcleos que se desintegra por unidad de tiempo; tiene unidades de inverso de tiempo, por ejemplo días⁻¹.
Período de semidesintegración (T₁∕₂): Tiempo necesario para que la mitad de los núcleos de una muestra se desintegre; se relaciona con λ por T₁∕₂ = ln 2 / λ.
Unidad de masa atómica (u): Doceavos de la masa del carbono-12; equivale a 931,5 MeV/c², lo que permite calcular energías de reacción a partir de defectos de masa.
Energía de reacción (Q): Diferencia entre la masa de los productos y la de los reactivos; si Q > 0 la reacción es exoenergética y puede ocurrir espontáneamente.
Desintegración alfa: Emisión de un núcleo de helio (²He⁴) por un núcleo pesado, lo que reduce en 4 el número másico y en 2 el número atómico.
Desintegración β⁺ (positrónica): Emisión de un positrón y un neutrino: el número másico se conserva y el número atómico disminuye en una unidad.

Preguntas para practicar

¿Por qué basta con conservar masa y carga en una reacción nuclear para que esta ocurra espontáneamente?

No basta: la conservación de A y Z es necesaria pero no suficiente. Además debe cumplirse el balance energético Q>0, es decir, la masa total de los productos debe ser menor que la del núcleo padre, de modo que la diferencia se libere como energía cinética y radiación; si Q<0 la reacción no puede ocurrir de forma espontánea.

¿Por qué se usa el logaritmo natural en la ley de desintegración radioactiva?

Porque el número de núcleos que se desintegran a cada instante es proporcional al número de núcleos presentes, lo que conduce a una ley exponencial N = N₀e^{-λt}; el logaritmo natural es el inverso de la función exponencial de base e, por eso aparece al despejar el tiempo o la constante λ.

¿Qué implicaciones tiene que el período de semidesintegración sea independiente de la temperatura y de la presión?

Implica que la desintegración nuclear es un proceso nuclear y no químico: depende solo de la estructura interna del núcleo, por lo que condiciones físicas o químicas externas, e incluso la forma en la que se encuentra el elemento, no alteran la constante de desintegración.

Temas y conceptos clave

Emisión radioactiva y ley de desintegraciónCálculo de constante radioactiva y semivida a partir de datos experimentalesConservación de masa y carga en desintegraciones nuclearesCriterio energético (Q) para la espontaneidad de una desintegraciónactividad (A)ley de emisión radioactivaconstante de desintegración (λ)período de semidesintegración (T₁∕₂)masa atómica (u)energía de reacción Qdesintegración α, β⁺ y β⁻

Fuentes y referencias

Serway, R. A. (2008). Física para ciencias e ingeniería.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el tiempo transcurrido si se conocen las actividades inicial y final y la vida media?

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¿Qué significa que la constante de desintegración λ sea igual a ln 2?

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¿Por qué una reacción nuclear conserva masa y carga pero aún así puede no ocurrir espontáneamente?

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📌 Antes de leer esto

• Leyes de conservación del número másico A y del número atómico Z en reacciones nucleares
• Uso de logaritmos naturales y cambio de base
• Masa atómica en unidades u y su equivalencia 1 u = 931,5 MeV/c²
• Concepto de actividad, constante de desintegración y período de semidesintegración

Siguiente tema sugerido

Energía de enlace nuclear, defecto de masa y reacciones de fisión y fusión.

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Leo el problema y realizo las actividades:

a) Una muestra del isótopo. 131] que tiene una vida media de 8,04 días, posee una actividad de 5,0 mCi en el tiempo de embarque. Al recibir la muestra en un laboratorio médico, la actividad es de 2,1 mCi. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre las dos mediciones?

Fuente: (Serway, 2008).

b) Si se sabe que el número de núcleos radioactivos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día, resuelvo lo siguiente:

i) Hallo la constante radioactiva mediante la ley de emisión radioactiva.

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ii) Determino el período de semidesintegración. 7

X y

c) Determino ¿cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea? Justifico mi respuesta. y ~

40, +, 40 i) ¿pla > e” + jgK

¿¿Ru > 3He + ¿3Mo

144Nd > ¿He + MH0Ce

Fuente: (Serway, 2008).

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