Un grupo de estudiantes calcula la velocidad de escape de Marte, dado el radio de Marte (del libro: 3,4 kilómetros, que debe leerse como 3{,}4\times 10^{3}\ \text{km}=3{,}4\times 10^{6}\ \text{m}, valor real del radio marciano) y la masa de Marte.

1. Datos: R = 3{,}4\times 10^{6}\ \text{m}, M_{\text{Marte}} = 6{,}39\times 10^{23}\ \text{kg}, G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}.
2. La velocidad de escape se obtiene igualando la energía cinética mínima a la energía potencial gravitatoria: \dfrac{1}{2}mv_{e}^{2} = \dfrac{GMm}{R}.
3. Despejando v_e: v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}
4. Sustitución: v_{e} = \sqrt{\frac{2(6{,}67\times 10^{-11})(6{,}39\times 10^{23})}{3{,}4\times 10^{6}}}
5. Producto del numerador: 2(6{,}67\times 10^{-11})(6{,}39\times 10^{23}) = 8{,}52\times 10^{13}.
6. División: \dfrac{8{,}52\times 10^{13}}{3{,}4\times 10^{6}} = 2{,}51\times 10^{7}\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}.
7. Raíz cuadrada: v_{e} = \sqrt{2{,}51\times 10^{7}} \approx 5{,}0\times 10^{3}\ \text{m/s}.
8. Comprobación con g_{\text{Marte}}=3{,}7\ \text{m/s}^{2}: v_{e}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2(3{,}7)(3{,}4\times10^{6})}=\sqrt{2{,}52\times10^{7}}\approx 5{,}0\times10^{3}\ \text{m/s}.

Relacionar la distancia de los objetos del Cinturón de Kuiper al Sol con sus periodos orbitales usando la Tercera Ley de Kepler.

1. La Tercera Ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media: T^{2} \propto a^{3}
2. Su forma cuantitativa para un cuerpo de masa despreciable frente al Sol es: T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{GM_{\odot}}\,a^{3} con M_{\odot}=1{,}99\times10^{30}\ \text{kg} y G=6{,}67\times10^{-11}.
3. Si T se expresa en años y a en unidades astronómicas (1\ \text{UA}=1{,}496\times10^{11}\ \text{m}), la constante se simplifica a 1 y la ley queda: T^{2} = a^{3}, es decir, T = a^{3/2}.
4. Ejemplo numérico: un objeto del Cinturón de Kuiper a a = 40\ \text{UA}: T = 40^{3/2} = (\sqrt{40})^{3} = (6{,}32)^{3} \approx 253\ \text{años}
5. Interpretación: a mayor distancia a, mayor periodo T. Para a=30\ \text{UA}, T=30^{3/2}\approx 164\ \text{años}; para a=50\ \text{UA}, T=50^{3/2}\approx 354\ \text{años}.