Ministerio de Educación del Ecuador

240/273

Desintegración radioactiva: actividad, constante y semivida

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 240

240 de 273

Anterior Página 240 / 273 Siguiente

Respuesta rápida

2.a: 10,06 días. 2.b.i: λ = 0,6931 día⁻¹. 2.b.ii: T = 1 día. 2.c: Solo la desintegración de $^{144}_{60}\text{Nd}$ es espontánea.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 240

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 2

a

Una muestra de $^{131}\text{I}$ con vida media $T_{1/2} = 8{,}04$ días tiene actividad $A_0 = 5{,}0$ mCi al embarque y $A = 2{,}1$ mCi al llegar. ¿Cuánto tiempo transcurrió?

La actividad sigue la ley de decaimiento: $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ .
Dividimos entre $A_0$ : $\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ , es decir $\frac{2{,}1}{5{,}0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8{,}04}$ .
$\frac{2{,}1}{5{,}0} = 0{,}42$ . Aplicamos logaritmo natural a ambos lados:
$\ln(0{,}42) = \frac{t}{8{,}04}\ln\left(\frac{1}{2}\right)$ .
$\ln(0{,}42) = -0{,}8675$ y $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -0{,}6931$ .
$t = \frac{\ln(0{,}42)\times 8{,}04}{\ln(0{,}5)} = \frac{(-0{,}8675)(8{,}04)}{-0{,}6931} = \frac{-6{,}975}{-0{,}6931}$ .

Respuesta

$t \approx 10{,}06$ días.

Ejercicio 2

b

El número de núcleos radioactivos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día.

Parte 2.b

i — Constante radioactiva

Por la ley de emisión radioactiva: $N = N_0 e^{-\lambda t}$ .
Cuando $t = 1$ día: $N = \frac{N_0}{2}$ , entonces $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda \cdot 1}$ .
Simplificamos: $\frac{1}{2} = e^{-\lambda}$ .
Aplicamos logaritmo natural: $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda$ .
$\lambda = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2$ .

Respuesta

$\lambda = 0{,}6931\ \text{día}^{-1}$ .

Parte 2.b

ii — Período de semidesintegración

La fórmula es: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ .
Sustituyendo: $T_{1/2} = \frac{0{,}6931}{0{,}6931}$ .

Respuesta

$T_{1/2} = 1$ día.

Ejercicio 2

c

¿Cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea? Se justifica mediante la conservación de números másicos y de carga, y el signo de la energía liberada $Q$ .

Parte 2.c

i — $^{40}_{20}\text{Ca} \rightarrow e^{+} + ^{40}_{19}\text{K}$

Número másico: $40 = 40 + 0$ ✓
Número atómico: $20 = 19 + 1$ ✓
Masas atómicas: $M(^{40}\text{Ca}) = 39{,}9626\ \text{u}$ , $M(^{40}\text{K}) = 39{,}9640\ \text{u}$ , $2m_e = 0{,}0011\ \text{u}$ .
Defecto de masa: $\Delta M = 39{,}9626 - 39{,}9640 - 0{,}0011 = -0{,}0025\ \text{u}$ .
Como $\Delta M < 0$ , $Q < 0$ .

Respuesta

No ocurre espontáneamente: el producto es más pesado que el reactivo, la reacción absorbería energía.

Parte 2.c

ii — $^{98}_{44}\text{Ru} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{94}_{42}\text{Mo}$

Número másico: $98 = 4 + 94$ ✓
Número atómico: $44 = 2 + 42$ ✓
Masas atómicas: $M(^{98}\text{Ru}) = 97{,}9053\ \text{u}$ , $M(^{94}\text{Mo}) = 93{,}9051\ \text{u}$ , $M(\alpha) = 4{,}0026\ \text{u}$ .
Defecto de masa: $\Delta M = 97{,}9053 - 93{,}9051 - 4{,}0026 = -0{,}0024\ \text{u}$ .
Como $\Delta M < 0$ , $Q < 0$ .

Respuesta

No ocurre espontáneamente: la energía de los productos es mayor que la del reactivo.

Parte 2.c

iii — $^{144}_{60}\text{Nd} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{140}_{58}\text{Ce}$

Número másico: $144 = 4 + 140$ ✓
Número atómico: $60 = 2 + 58$ ✓
Masas atómicas: $M(^{144}\text{Nd}) = 143{,}9101\ \text{u}$ , $M(^{140}\text{Ce}) = 139{,}9054\ \text{u}$ , $M(\alpha) = 4{,}0026\ \text{u}$ .
Defecto de masa: $\Delta M = 143{,}9101 - 139{,}9054 - 4{,}0026 = +0{,}0021\ \text{u}$ .
Como $\Delta M > 0$ , $Q > 0$ y se libera energía.

Respuesta

Sí ocurre espontáneamente: el neodimio-144 es un radioisótopo alfa estable en la naturaleza.

Contenido de la página

Desintegración radioactiva — Ejercicios

2. Leo el problema y realizo las actividades

a) Isótopo $^{131}\text{I}$ : tiempo transcurrido

Una muestra de $^{131}\text{I}$ con vida media de 8,04 días tiene actividad de 5,0 mCi al embarque y de 2,1 mCi al llegar al laboratorio. Se pide el tiempo transcurrido.

b) Muestra cuyo número de núcleos se reduce a la mitad en un día

i) Calcular la constante radioactiva $\lambda$ por la ley de emisión radioactiva.

ii) Determinar el período de semidesintegración.

c) ¿Cuáles desintegraciones ocurren espontáneamente?

$^{40}_{20}\text{Ca} \rightarrow e^{+} + ^{40}_{19}\text{K}$
$^{98}_{44}\text{Ru} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{94}_{42}\text{Mo}$
$^{144}_{60}\text{Nd} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{140}_{58}\text{Ce}$

Fuente: Serway (2008).

Ejemplos resueltos

Una muestra de $^{131}\text{I}$ (vida media 8,04 días) pasa de 5,0 mCi a 2,1 mCi. ¿Cuánto tiempo transcurrió?

Usando $\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ : $\frac{2{,}1}{5{,}0} = 0{,}42$ . Aplicando logaritmos: $t = \frac{\ln(0{,}42)\times 8{,}04}{\ln(0{,}5)} = \frac{-0{,}8675\times 8{,}04}{-0{,}6931} \approx 10{,}06$ días.

Tabla

Reacción	M(reactivo) [u]	M(productos) [u]	ΔM [u]	Q	¿Espontánea?
$^{40}_{20}\text{Ca} \rightarrow e^{+} + ^{40}_{19}\text{K}$	39,9626	39,9651	-0,0025	Q < 0	No
$^{98}_{44}\text{Ru} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{94}_{42}\text{Mo}$	97,9053	97,9077	-0,0024	Q < 0	No
$^{144}_{60}\text{Nd} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{140}_{58}\text{Ce}$	143,9101	143,9080	+0,0021	Q > 0	Sí

Fórmulas y ecuaciones

$A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

A = $A_0$ $\left(@@MATH_0@@\right)^{t/T_{1/2}}$

N = $N_0$ $e^{-\lambda$ t}

$T_{1/2}$ = $\frac{\ln 2}{\lambda}$

A = $\lambda$ N

Q = $(M_{@@MATH_0@@\text{productos}$ $})\times$ 931{,}5\ $\text{MeV/u}$

Glosario (6)

Actividad
Constante radioactiva (λ)
Período de semidesintegración (T₁/₂)
Emisión alfa
Defecto de masa
Positron (e⁺)

Preguntas para practicar

¿Por qué una reacción nuclear solo puede ocurrir espontáneamente si el defecto de masa es positivo?

La energía nuclear disponible proviene de la diferencia de masa entre reactivo y productos (E=Δmc²). Si los productos son más pesados que el reactivo, no hay masa convertible en energía, por lo que la reacción sería endoenergética y no puede ocurrir de forma espontánea.

¿Qué relación tiene la actividad radioactiva con el número de núcleos presentes?

La actividad $A$ es proporcional al número de núcleos radiactivos $N$ por la constante radioactiva $\lambda$: $A = \lambda N$. A mayor número de núcleos, mayor actividad; al desintegrarse los núcleos, la actividad disminuye exponencialmente.

Temas y conceptos clave

Desintegración radioactivaActividad y constante radioactivaPeríodo de semidesintegraciónEstabilidad nuclear y espontaneidad de reaccionesLey de decaimiento: $A = A_0 e^{-\lambda t}$Relación entre semivida y constante: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$Defecto de masa $\Delta M$ y energía liberada $Q$Emisión alfa y emisión de positrones

Fuentes y referencias

Serway, R. A. (2008). Física para ciencias e ingeniería.

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el tiempo transcurrido dada la actividad inicial y final de una muestra radioactiva?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación existe entre la constante radioactiva y el período de semidesintegración?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina si una reacción nuclear ocurre espontáneamente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Logaritmo natural y exponencial
• Conservación de número másico y número atómico en reacciones nucleares
• Relación entre masa y energía (Einstein)
• Unidad de actividad: milicurio (mCi)

Siguiente tema sugerido

Fisión nuclear y fusión nuclear: energía liberada en procesos nucleares

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 854 caracteres

Leo el problema y realizo las actividades:

a) Una muestra del isótopo. 131] que tiene una vida media de 8,04 días, posee una actividad de 5,0 mCi en el tiempo de embarque. Al recibir la muestra en un laboratorio médico, la actividad es de 2,1 mCi. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre las dos mediciones?

Fuente: (Serway, 2008).

b) Si se sabe que el número de núcleos radioactivos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día, resuelvo lo siguiente:

i) Hallo la constante radioactiva mediante la ley de emisión radioactiva.

'4 >

ii) Determino el período de semidesintegración. 7

X y

c) Determino ¿cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea? Justifico mi respuesta. y ~

40, +, 40 i) ¿pla > e” + jgK

¿¿Ru > 3He + ¿3Mo

144Nd > ¿He + MH0Ce

Fuente: (Serway, 2008).

Texto de Física | 539