Datación con carbono 14 y reacción nuclear del oro 197 con neutrones lentos

1. El carbono 14 ({}^{14}_{6}\text{C}) es un isótopo inestable que se produce en la atmósfera cuando los rayos cósmicos chocan con el nitrógeno: {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{14}_{6}\text{C} + {}^{1}_{1}\text{H}
2. Mientras el organismo vive, incorpora carbono de la atmósfera (CO_2) y mantiene una concentración de {}^{14}\text{C} constante, en equilibrio con el {}^{12}\text{C} (la razón {}^{14}\text{C}/{}^{12}\text{C} es aproximadamente la misma en todo el planeta, ~1,3\times10^{-12}).
3. Al morir el organismo deja de absorber carbono y el {}^{14}\text{C} empieza a desintegrarse por desintegración β⁻ hacia nitrógeno estable: {}^{14}_{6}\text{C} \to {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e
4. Este proceso sigue una ley exponencial N = N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}, donde T es la vida media del carbono 14, T = 5730\,\text{años}. La energía máxima del electrón emitido es ~156\,\text{keV}.
5. En un laboratorio (por ejemplo con un contador proporcional o por espectrometría de masas) se mide la actividad residual A = \lambda N o la razón {}^{14}\text{C}/{}^{12}\text{C} y se compara con la del carbono contemporáneo (A_0 o N_0): \lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0{,}693}{5730\,\text{años}} \approx 1{,}21\times10^{-4}\,\text{a}^{-1}
6. A partir de esa comparación se deduce la antigüedad de la muestra, método desarrollado por Willard Libby (Premio Nobel de Química en 1960), válido hasta unos 50 000 años (aproximadamente 9 vidas medias).

1. El dato cuantitativo (actividad o porcentaje de {}^{14}\text{C} respecto al carbono de referencia) aparece en la página anterior; el procedimiento es el siguiente:
2. Se escribe la ecuación de decaimiento N = N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} y se despeja t: \frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} \implies \ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\frac{t}{T}\ln 2 \boxed{t = T\,\frac{\ln(N_0/N)}{\ln 2} = 5730\,\text{años}\times\frac{\ln(N_0/N)}{0{,}693}}
3. Como el decaimiento es exponencial, se puede usar también el factor de \frac{1}{2}: si la muestra conserva el 25\% del {}^{14}\text{C} original, quedan dos semiperíodos completos (25\% = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2), entonces t = 2T = 2\times5730 = 11\,460\,\text{años}.
4. Si la muestra conserva el 12{,}5\%, hay tres semiperíodos: t = 3T = 17\,190\,\text{años}. En general t = n\times5730\,\text{años}, con n el número de vidas medias transcurridas.
5. Comprobación de coherencia: cuanto más antiguo es el fósil, menor debe ser su actividad, porque \lambda es constante y A = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}.

Respuesta orientativa: Aplicando t = T\,\frac{\ln(N_0/N)}{\ln 2} con T = 5730\,\text{años} y el porcentaje de {}^{14}\text{C} que conserve el carbón respecto al carbono actual; por ejemplo, si la muestra tiene 25\% del {}^{14}\text{C} original, el árbol murió hace 11\,460\,\text{años}.

El oro natural tiene solo un isótopo, {}^{197}_{79}\text{Au}. Si se irradia el oro natural con un flujo de partículas lentas, se produce una emisión de electrones.

1. El oro natural solo presenta el isótopo estable {}^{197}_{79}\text{Au} (197 nucleones, 79 protones).
2. Al irradiarlo con neutrones lentos (térmicos) el núcleo captura un neutrón y se forma un isótopo inestable: {}^{197}_{79}\text{Au} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{198}_{79}\text{Au}
3. El {}^{198}\text{Au} es inestable y se desintegra por desintegración β⁻, emitiendo un electrón: {}^{198}_{79}\text{Au} \to {}^{198}_{80}\text{Hg} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e
4. Comprobación de conservación: número de nucleones 197 + 1 = 198 = 198; carga 79 + 0 = 79 = 80 + (-1). Todo se conserva.
5. Sumando ambas etapas (activación + decaimiento): {}^{197}_{79}\text{Au} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{198}_{80}\text{Hg} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e
6. El mercurio 198 es estable, así que la reacción termina ahí.

1. En una desintegración β⁻ el electrón emitido puede llevarse una energía que va desde cero hasta un valor máximo E_{\max}; el resto (el \bar{\nu}_e) se lleva el resto de la energía. Por eso el espectro β es continuo.
2. El valor máximo se obtiene del balance de energía (valor Q) de la reacción: Q = \left[ m({}^{198}\text{Au}) - m({}^{198}\text{Hg}) - m_{\text{e}}\right]c^2
3. Como la masa del electrón es despreciable frente a la nuclear (m_{\text{e}} = 0{,}000549\,\text{u} frente a \approx 198\,\text{u}), se puede escribir aproximadamente: E_{\max} \approx \Delta m\,c^2
4. Para el {}^{198}\text{Au} \to {}^{198}\text{Hg} la diferencia de masas es aproximadamente Δ m \approx 0{,}00148\,\text{u}, y sabiendo que 1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV}/c^2: E_{\max} \approx 0{,}00148\times 931{,}5\,\text{MeV} \approx 1{,}37\,\text{MeV}
5. Conviertiendo a julios: E_{\max} = 1{,}37\times10^{6}\,\text{eV}\times1{,}6\times10^{-19}\,\text{J/eV} \approx 2{,}2\times10^{-13}\,\text{J}
6. Comprobación: el electrón emitido no puede tener más energía que la diferencia de masas de reacción, porque esa energía se reparte entre el electrón, el neutrino y el retroceso del átomo; cuando el neutrino toma energía casi nula, el electrón recibe el valor máximo.

Nota de integridad: el texto de la página dice «oro natural, isótopo {}^{179}_{79}\text{Au}», pero el único isótopo estable del oro es {}^{197}_{79}\text{Au}; se trata de un error de transcripción del libro. Además, el dato numérico de actividad que exige el literal 2.b aparece en la página anterior, por lo que aquí se resuelve el procedimiento general.