Calcular la velocidad de escape necesaria para que una sonda salga de la atmósfera de Marte, sabiendo que el radio de Marte es aproximadamente 3{,}4 (el libro escribe "kilómetros", pero el valor físico realista del radio marciano es 3{,}4\times10^{6}\,\text{m}=3{,}4\times10^{3}\,\text{km}).

Datos:

• r = 3{,}4\times10^{6}\,\text{m}
• M_{Marte} = 6{,}42\times10^{23}\,\text{kg}
• G = 6{,}67\times10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}

1. La velocidad de escape se obtiene igualando la energía cinética mínima a la energía potencial gravitatoria: \frac{1}{2}mv_{e}^{2}=\frac{GMm}{r}.
2. Despejando v_{e} (la masa de la sonda m se cancela): v_{e}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}
3. Calculamos el producto GM: GM=(6{,}67\times10^{-11})(6{,}42\times10^{23})=4{,}28\times10^{13}\,\text{m}^{3}/\text{s}^{2}
4. Multiplicamos por 2: 2GM=2(4{,}28\times10^{13})=8{,}57\times10^{13}\,\text{m}^{3}/\text{s}^{2}
5. Dividimos por el radio: \frac{2GM}{r}=\frac{8{,}57\times10^{13}}{3{,}4\times10^{6}}=2{,}52\times10^{7}\,\text{m}^{2}/\text{s}^{2}
6. Aplicamos la raíz cuadrada: v_{e}=\sqrt{2{,}52\times10^{7}}\approx 5{,}0\times10^{3}\,\text{m/s}

Verificación con la gravedad marciana: g=\dfrac{GM}{r^{2}}=\dfrac{4{,}28\times10^{13}}{(3{,}4\times10^{6})^{2}}=3{,}7\,\text{m/s}^{2}; entonces v_{e}=\sqrt{2gr}=\sqrt{2(3{,}7)(3{,}4\times10^{6})}\approx5{,}0\times10^{3}\,\text{m/s}, mismo resultado.

Explicar la relación entre la distancia de los objetos del Cinturón de Kuiper al Sol y sus periodos orbitales usando la tercera ley de Kepler, T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}.

1. En la fórmula T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}, para todos los cuerpos que orbitan el mismo Sol, G y M son constantes; por lo tanto \dfrac{4\pi^{2}}{GM}=\text{constante}.
2. Se concluye que T^{2}\propto a^{3}\qquad\text{o bien}\qquad \frac{T^{2}}{a^{3}}=\text{constante}
3. Despejando el periodo: T=\sqrt{\dfrac{4\pi^{2}}{GM}}\,a^{3/2}, es decir, T\propto a^{3/2}: a mayor distancia, el periodo crece más rápido que la distancia.
4. Ejemplo numérico. Para un objeto a a=40\,\text{AU}=40(1{,}496\times10^{11})=5{,}98\times10^{12}\,\text{m}, con M_{\odot}=1{,}99\times10^{30}\,\text{kg}: T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{(6{,}67\times10^{-11})(1{,}99\times10^{30})}(5{,}98\times10^{12})^{3}=6{,}4\times10^{19}\,\text{s}^{2}
5. T=\sqrt{6{,}4\times10^{19}}\approx8{,}0\times10^{9}\,\text{s}=\frac{8{,}0\times10^{9}}{3{,}15\times10^{7}}\approx253\,\text{años}
6. Comprobación directa con la ley: T=a^{3/2}=40^{3/2}\approx253\,\text{años}, coincide con el valor obtenido. Un objeto a 50\,\text{AU} tendría T=50^{3/2}\approx354\,\text{años}.