FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 103 – Resuelto 0

Pregunta 1) Escribir la ecuación de la velocidad \(v(t)\) y la aceleración \(a(t)\) para un tiempo \(t\).

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: derivada de producto y cadena. \(\dfrac{d}{dt}[e^{-bt}\cos(\theta(t))]=\dfrac{d e^{-bt}}{dt}\cos\theta + e^{-bt}\dfrac{d}{dt}[\cos\theta]\).
Paso 2: Sea \(\theta(t)=\omega_d t+\varphi\). Entonces \(\dfrac{d e^{-bt}}{dt}=-b e^{-bt}\) y \(\dfrac{d}{dt}[\cos\theta]=-\omega_d\sin\theta\).
Paso 3: Derivamos \(x(t)=A e^{-bt}\cos\theta\):
\(v(t)=\dfrac{dx}{dt}=A\big(-b e^{-bt}\cos\theta + e^{-bt}(-\omega_d\sin\theta)\big)\).
Paso 4: Factorizando \(e^{-bt}\):
\(v(t)=-A e^{-bt}\big(b\cos(\omega_d t+\varphi)+\omega_d\sin(\omega_d t+\varphi)\big)\).
Paso 5: Ahora la aceleración \(a(t)=\dfrac{d v}{dt}\). Derivamos \(v(t)=-A e^{-bt}[b\cos\theta+\omega_d\sin\theta]\):
Aplicando producto y derivadas internas obtenemos (mostrando pasos):
\(a(t)=-A\{(-b)e^{-bt}[b\cos\theta+\omega_d\sin\theta]+e^{-bt}[-b\omega_d\sin\theta+\omega_d^2\cos\theta]\}\).
Paso 6: Factorizando \(-A e^{-bt}\) y simplificando términos:
Interior = \(-b[b\cos\theta+\omega_d\sin\theta]+(-b\omega_d\sin\theta+\omega_d^2\cos\theta)\).
Paso 7: Agrupando términos en \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\):
Término \(\cos\theta:\) \(-b^2\cos\theta+\omega_d^2\cos\theta=(\omega_d^2-b^2)\cos\theta\).
Término \(\sin\theta:\) \(-b\omega_d\sin\theta- b\omega_d\sin\theta=-2b\omega_d\sin\theta\).
Resultado final:
\(v(t)=-A e^{-bt}\big(b\cos(\omega_d t+\varphi)+\omega_d\sin(\omega_d t+\varphi)\big)\)
\(a(t)=-A e^{-bt}\big((\omega_d^2-b^2)\cos(\omega_d t+\varphi)-2b\omega_d\sin(\omega_d t+\varphi)\big)\).
Resultado final: \( \boxed{v(t)=-A e^{-bt}\big(b\cos(\omega_d t+\varphi)+\omega_d\sin(\omega_d t+\varphi)\big),\quad a(t)=-A e^{-bt}\big((\omega_d^2-b^2)\cos(\omega_d t+\varphi)-2b\omega_d\sin(\omega_d t+\varphi)\big)}\)

Pregunta 2) Dibujar/explicar las gráficas de posición y velocidad versus tiempo.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: interpretar \(x(t)=A e^{-bt}\cos(\omega_d t+\varphi)\) y \(v(t)\) obtenido arriba; la envolvente es exponencial \(\pm A e^{-bt}\).
Paso 2: Posición \(x(t)\): oscila con frecuencia \(\omega_d\) y amplitud que decrece según la envolvente \(\pm A e^{-bt}\). Al graficar, el eje horizontal es tiempo y el vertical la posición; las crestas de las oscilaciones siguen la curva exponencial descendente.
Paso 3: Velocidad \(v(t)\): también es oscilatoria con la misma frecuencia \(\omega_d\) pero desfasada respecto a \(x(t)\) (la derivada introduce un cambio de fase aproximado de \(\pi/2\) cuando el amortiguamiento es pequeño). Su envolvente absoluta es \(A e^{-bt}\sqrt{\omega_d^2+b^2}\).
Paso 4: Características para dibujar en los ejes:
– Eje horizontal: tiempo \(t\).
– Para \(x(t)\): curva oscilante cuyo máximo en cada ciclo disminuye exponencialmente.
– Para \(v(t)\): oscilaciones de similar frecuencia, cruzando cero cuando \(x(t)\) alcanza extremos, y con crestas decrecientes que siguen la envolvente mencionada.
Resultado final: \( \boxed{\text{Gráficas: }x(t)=A e^{-bt}\cos(\omega_d t+\varphi)\text{ (oscil. modulada por }e^{-bt}),\quad v(t)\text{ oscilatoria con envolvente }A e^{-bt}\sqrt{\omega_d^2+b^2}}\)

Pregunta 3) Determinar la velocidad máxima del amortiguador.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: la amplitud máxima instantánea de \(v(t)\) está dada por la envolvente \(A e^{-bt}\sqrt{\omega_d^2+b^2}\).
Paso 2: Justificación: de la expresión \(v(t)=-A e^{-bt}[b\cos\theta+\omega_d\sin\theta]\) la magnitud máxima respecto a la fase \(\theta\) es \(A e^{-bt}\sqrt{b^2+\omega_d^2}\).
Paso 3: Relación con la frecuencia natural \(\omega_0\): para el caso subamortiguado suele cumplirse \(\omega_0^2=\omega_d^2+b^2\). Sustituyendo:
\(A e^{-bt}\sqrt{\omega_d^2+b^2}=A e^{-bt}\sqrt{\cancel{\omega_d^2+b^2}}=A e^{-bt}\omega_0\).
Paso 4: La velocidad máxima instantánea ocurre inicialmente (si la fase y la elección de tiempo lo permiten) en \(t=0\) para la envolvente máxima en muchos casos; el valor máximo inicial es \(A\omega_0\) (si \(e^{-bt}\) evaluado en \(t=0\) y la fase permiten alcanzarlo).
Resultado final: \( \boxed{v_{\max}(t)=A e^{-bt}\sqrt{\omega_d^2+b^2}\quad\text{y en términos de }\omega_0:\;v_{\max}(t)=A\,\omega_0\,e^{-bt}}\)