Página 105 - ejercicios
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FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 105 – Resuelto 0
Los péndulos simples oscilan con período aproximado independiente de la masa y depende principalmente de la longitud y la gravedad. Para pequeñas amplitudes se usa la fórmula: $$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$$ donde L es la longitud del péndulo (m) y g la aceleración de la gravedad (m/s²). En amplitudes moderadas (como 16°) hay una pequeña corrección que se puede aproximar por una serie en la amplitud máxima \(\theta_0\) (en radianes): \(T\approx T_0\left(1+\dfrac{1}{16}\theta_0^2+\dfrac{11}{3072}\theta_0^4+\cdots\right)\).
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 105.
Pregunta 1) Si el péndulo tiene 70 centímetros de longitud y la lenteja o terminal de masa es de 500 gramos, determine el período del movimiento para una abertura actual del reloj de 16 grados.
Respuesta:
Paso 1: Regla / Fórmula principal: Para un péndulo simple (pequeñas oscilaciones) se usa \(T_0=2\pi\sqrt{L/g}\). Para amplitud finita se aplica la corrección: \(T\approx T_0\left(1+\dfrac{1}{16}\theta_0^2+\dfrac{11}{3072}\theta_0^4\right)\).
Paso 2: Convertir datos a unidades SI: Longitud \(L=70\ \text{cm}=0.70\ \text{m}\). Masa \(m=500\ \text{g}=0.500\ \text{kg}\) (no afecta al período).
Paso 3: Mostrar por qué la masa no entra en el período (derivación corta): Ecuación de movimiento para el ángulo \(\theta\): \(mL\ddot{\theta}+mg\sin\theta=0\).
Paso 4: Para pequeñas oscilaciones \(\sin\theta\approx\theta\) y dividimos por \(m\): \(\cancel{m}L\ddot{\theta}+\cancel{m}g\theta=0\ \Rightarrow\ L\ddot{\theta}+g\theta=0\). Aquí se aprecia la cancelación de la masa: \(\cancel{m}\).
Paso 5: Periodo en aproximación lineal: \(T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\). Tomamos \(g=9.81\ \text{m/s}^2\). Calculemos:
\(\sqrt{\dfrac{L}{g}}=\sqrt{\dfrac{0.70}{9.81}}=\sqrt{0.0713475\ldots}=0.267167\ldots\)
Paso 6: \(T_0=2\pi(0.267167\ldots)=1.67888\ \text{s}\) (período en la aproximación de ángulo pequeño).
Paso 7: Convertir la amplitud a radianes: \(\theta_0=16^{\circ}\cdot\dfrac{\pi}{180}=0.2792527\ \text{rad}\). Calcular corrección:
\(\theta_0^2=(0.2792527)^2=0.077963\ldots\).
Paso 8: Primer término de corrección: \(\dfrac{1}{16}\theta_0^2=\dfrac{0.077963}{16}=0.0048727\).
Paso 9: Segundo término (muy pequeño): \(\theta_0^4=(0.077963)^2=0.006077\ldots\) y \(\dfrac{11}{3072}\theta_0^4\approx0.0000218\).
Paso 10: Factor de corrección total aprox.: \(1+0.0048727+0.0000218=1.0048945\).
Paso 11: Período corregido: \(T\approx T_0\cdot1.0048945=1.67888\cdot1.0048945=1.68709\ \text{s}\).
Resultado final: \(\boxed{1.687\ \text{s}\approx1.69\ \text{s}}\)
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 105.:
- 1.687 s (aprox. 1.69 s)
