Página 106 - ejercicios
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FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 106 – Resuelto 0
Breve contexto: Estas preguntas tratan el péndulo simple y cómo cambia su período al modificar la longitud, además de calcular la velocidad máxima para una apertura angular pequeña. Fórmulas principales: período del péndulo \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\) y conservación de la energía para velocidad máxima \(v=\sqrt{2gL(1-\cos\theta)}\) (o para ángulos pequeños \(v\approx \theta\sqrt{gL}\)).
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 106.
Péndulo simple – Fórmulas usadas
Fórmulas:
- Período: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\)
- Velocidad máxima (energía): \(v_{max}=\sqrt{2gL(1-\cos\theta)}\). Para ángulos pequeños se usa \(1-\cos\theta\approx\tfrac{\theta^2}{2}\) y entonces \(v\approx\theta\sqrt{gL}\) con \(\theta\) en radianes.
Pregunta b) El período si la cuerda o brazo disminuye a la mitad.
Respuesta:
Paso 1: Regla usada: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\). Sea el período original \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\).
Paso 2: Si la nueva longitud es \(L’ = \dfrac{L}{2}\), entonces
$$
T’=2\pi\sqrt{\dfrac{L’}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{L/2}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{L}{g}}.
$$
Paso 3: Separando factores:
$$
T’=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{2}}=T\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
$$
Resultado final: \(\boxed{T’=\dfrac{T}{\sqrt{2}}}\)
Pregunta c) El período si la cuerda o brazo aumenta al doble.
Respuesta:
Paso 1: Regla usada: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\).
Paso 2: Si la nueva longitud es \(L”=2L\), entonces
$$
T”=2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{g}}=2\pi\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
$$
Paso 3: Escribiendo en función del período original \(T\):
$$
T”=\sqrt{2}\,\left(2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\right)=\sqrt{2}\,T.
$$
Resultado final: \(\boxed{T”=\sqrt{2}\,T}\)
Pregunta d) ¿Cuál es la velocidad de la lenteja en una apertura de 5 grados?
Respuesta:
Paso 1: Regla usada: conservación de la energía entre la posición máxima (ángulo \(\theta\)) y la vertical. Fórmula exacta:
$$
v_{max}=\sqrt{2gL(1-\cos\theta)}.
$$
Paso 2: Sustituir \(\theta=5^\circ\). Convertir a radianes si se usa aproximación pequeña: \(\theta_{rad}=5^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{36}\approx0.0872665\) rad.
Paso 3: Valor exacto en función de \(L\):
$$
v_{max}=\sqrt{2gL(1-\cos 5^\circ)}.
$$
Paso 4: Evaluación numérica de la parte angular (con \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\)):
\(1-\cos 5^\circ\approx 0.0038053\).
Entonces
$$
v_{max}\approx\sqrt{2\cdot 9.81\cdot L\cdot 0.0038053}=\sqrt{0.07466\,L}\approx0.2733\sqrt{L}\;\mathrm{(m/s)}.
$$
Paso 5: Interpretación: si conoces \(L\) sustituyes en metros para obtener \(v\) en m/s. Por ejemplo, para \(L=1\ \mathrm{m}\): \(v\approx0.2733\ \mathrm{m/s}\). La aproximación para ángulos pequeños usando \(v\approx\theta\sqrt{gL}\) da el mismo resultado numérico porque \(\theta\) es pequeño.
Resultado final: \(\boxed{v=\sqrt{2gL(1-\cos 5^\circ)}\approx 0.2733\sqrt{L}\ \mathrm{m/s}}\)
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 106.:
- T’=T/\sqrt{2}
- T”=\sqrt{2}\,T
- v=\sqrt{2gL(1-\cos 5^\circ)}\approx 0.2733\sqrt{L}\ \mathrm{m/s}
