FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 191 – Resuelto 0

Pregunta 1) Cuando el coche de seguridad se acerca a la Fórmula 1. Datos: frecuencia emitida \(f_s=400\,\text{Hz}\). Velocidades: coche de seguridad \(v_s=200\,\text{km/h}\), Fórmula 1 (observador) \(v_o=160\,\text{km/h}\). Velocidad del sonido tomar \(v=343\,\text{m/s}\).

Respuesta:
Paso 1: (Regla) Usamos la fórmula general del Doppler para fuente y observador en movimiento: \(f’=\dfrac{v+v_o}{v- v_s}\,f_s\), donde \(v_o\) es positiva si el observador se mueve hacia la fuente y \(v_s\) es positiva si la fuente se mueve hacia el observador.
Paso 2: Convertir velocidades a m/s: \(200\,\text{km/h}=200\times\dfrac{1000}{3600}\,\text{m/s}=200\times\dfrac{5}{18}\,\text{m/s}=\dfrac{1000}{18}\,\text{m/s}=55.556\,\text{m/s}.\) Mostrar cancelaciones: \(200\times\dfrac{1000}{3600}=200\times\dfrac{\cancel{1000}}{\cancel{3600}}=200\times\dfrac{10}{36}=200\times\dfrac{5}{18}\).
Paso 3: \(160\,\text{km/h}=160\times\dfrac{1000}{3600}=160\times\dfrac{5}{18}=\dfrac{800}{18}=44.444\,\text{m/s}.\) (igual proceso de cancelación que arriba).
Paso 4: Determinar signos. Aquí el coche de seguridad (fuente) es más rápido y se acerca desde atrás al observador, por lo que la fuente se mueve hacia el observador (\(v_s=55.556\,\text{m/s}\) con signo que reduce el denominador). El observador se está desplazando hacia adelante (en la misma dirección) pero respecto a la fuente se está alejando (no se mueve hacia la fuente), por lo que tomamos \(v_o=-44.444\,\text{m/s}\) en la fórmula.
Paso 5: Sustituir en la fórmula:\\
\(f’ = \dfrac{v+v_o}{v- v_s}\,f_s = \dfrac{343 + (-44.444)}{343 – 55.556}\times 400.\)
Paso 6: Calcular numerador y denominador: \(343-44.444=298.556\), \(343-55.556=287.444\).
Paso 7: Cociente y frecuencia: \(\dfrac{298.556}{287.444\,}=1.03869\). Entonces \(f’=1.03869\times400=415.48\,\text{Hz}.\)
Resultado final: \(\boxed{415.5\,\text{Hz} \; (\text{aprox.})}\)

Pregunta 2) Cuando el coche de seguridad se aleja de la Fórmula 1. Misma información: \(f_s=400\,\text{Hz}\), \(v_s=200\,\text{km/h}=55.556\,\text{m/s}\), \(v_o=160\,\text{km/h}=44.444\,\text{m/s}\), \(v=343\,\text{m/s}\).

Respuesta:
Paso 1: (Regla) Usamos la forma general: \(f’=\dfrac{v+v_o}{v+ v_s}\,f_s\) cuando la fuente se aleja del observador (el signo en el denominador cambia a + porque la fuente incrementa la longitud de onda).
Paso 2: Determinar signos. Si la fuente se aleja del observador, entonces en el denominador aparece \(v+v_s\) con \(v_s=55.556\,\text{m/s}\). El observador se está moviendo en la misma dirección que la fuente y, desde la perspectiva de la fuente, el observador se aleja, por lo que tomamos \(v_o=-44.444\,\text{m/s}\) en el numerador.
Paso 3: Sustituir en la fórmula:\\
\(f’ = \dfrac{343 + (-44.444)}{343 + 55.556}\times 400.\)
Paso 4: Calcular numerador y denominador: \(343-44.444=298.556\), \(343+55.556=398.556\).
Paso 5: Cociente y frecuencia: \(\dfrac{298.556}{398.556}=0.74930\). Entonces \(f’=0.74930\times400=299.72\,\text{Hz}.\)
Resultado final: \(\boxed{299.7\,\text{Hz} \; (\text{aprox.})}\)