FÍSICA – Bachillerato General – 1 – Primero de Bachillerato – Pág 197 – Resuelto 0

Pregunta 1) Calculo el flujo a través de la superficie de un disco de radio de 5 cm colocado perpendicularmente y centrado en el eje del solenoide.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Si \(B\) es uniforme y perpendicular al disco, \(\Phi=BA\).
Paso 2: Calculo el área del disco: \(A=\pi r^2=\pi(0.05\ \mathrm{m})^2=\pi(0.0025)\ \mathrm{m}^2\).
Paso 3: Sustituyo en \(\Phi=BA\): \(\Phi=B\cdot\pi(0.0025)=0.0025\pi\,B\).
Resultado final: \(\boxed{\Phi=0.0025\pi\,B\quad(\mathrm{Wb})}\)

Pregunta 2) En la sección circular del extremo del solenoide, calculo el flujo a través del área definida por un anillo de radio interno de 0,4 cm y radio externo de 0,8 cm.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: \(\Phi=BA\) si \(B\) es uniforme en la región del anillo.
Paso 2: Área del anillo = diferencia de áreas circulares: \(A=\pi(R^2-r^2)\).
Paso 3: Paso a metros: \(R=0.008\ \mathrm{m},\ r=0.004\ \mathrm{m}\).
Paso 4: Calculo las potencias: \(R^2=0.008^2=6.4\times10^{-5},\ r^2=0.004^2=1.6\times10^{-5}\).
Paso 5: Entonces \(A=\pi(6.4\times10^{-5}-1.6\times10^{-5})=\pi(4.8\times10^{-5})\ \mathrm{m}^2\).
Paso 6: Fluxo: \(\Phi=B\,A=B\pi(4.8\times10^{-5})=4.8\times10^{-5}\pi\,B\).
Resultado final: \(\boxed{\Phi=4.8\times10^{-5}\pi\,B\quad(\mathrm{Wb})}\)

Pregunta 3) Un solenoide con radio 2 cm y de \(1\times10^{3}\) vueltas/m está rodeado por una bobina con radio 10 cm y 15 vueltas. La corriente en el solenoide es \(I(t)=5\sin(120t)\ \mathrm{A}\). Determino la f.e.m. inducida en la bobina de 15 vueltas en función del tiempo.

Respuesta:
Paso 1: Reglas usadas: \(B=\mu_0 n I\) dentro del solenoide, \(\Phi_{\text{por vuelta}}=B\,A_{\text{sol}}\) (el campo fuera del solenoide ideal se desprecia), y ley de Faraday: \(\mathcal{E}=-N\dfrac{d\Phi}{dt}\).
Paso 2: Área del solenoide (la que enlaza a cada vuelta de la bobina): \(A_{\text{sol}}=\pi r^2=\pi(0.02\ \mathrm{m})^2=\pi(4\times10^{-4})\ \mathrm{m}^2\).
Paso 3: Campo en el solenoide: \(B=\mu_0 n I(t)=\mu_0(1\times10^{3})I(t)\).
Paso 4: Flujo por vuelta: \(\Phi_{1}=B\,A_{\text{sol}}=\mu_0 n I(t)\cdot\pi(4\times10^{-4})\).
Paso 5: Flujo total que enlaza la bobina de \(N=15\) vueltas: \(\Phi_{\text{tot}}=N\Phi_{1}=N\mu_0 n \pi(4\times10^{-4})I(t)\).
Paso 6: Emf: \(\mathcal{E}=-\dfrac{d}{dt}\Phi_{\text{tot}}=-N\mu_0 n \pi(4\times10^{-4})\dfrac{dI}{dt}\).
Paso 7: Derivada de la corriente: \(I(t)=5\sin(120t)\Rightarrow\dfrac{dI}{dt}=5\cdot120\cos(120t)=600\cos(120t)\).
Paso 8: Sustituyo constantes: \(N=15,\ \mu_0=4\pi\times10^{-7},\ n=10^{3},\ A_{\text{sol}}=4\times10^{-4}\pi\).
Paso 9: Calculo el coeficiente numérico:
\(\mathcal{E}(t)=-15\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot10^{3}\cdot(4\times10^{-4}\pi)\cdot600\cos(120t)\).
Paso 10: Simplifico las potencias de diez: \(4\pi\times10^{-7}\cdot10^{3}=4\pi\times10^{-4}\). (Se puede ver como \(10^{-7+3}=10^{-4}\)).
Paso 11: Entonces el coeficiente es \(15\cdot4\pi\times10^{-4}\cdot4\times10^{-4}\pi\cdot600\).
Paso 12: Agrupo números: \(15\cdot4\cdot4\cdot600=15\cdot16\cdot600=144000\).
Paso 13: Y las potencias de diez: \(10^{-4}\cdot10^{-4}=10^{-8}\).
Paso 14: Queda \(\mathcal{E}(t)=-144000\pi^2\times10^{-8}\cos(120t)\ \mathrm{V}=-1.44\times10^{-3}\pi^2\cos(120t)\ \mathrm{V}\).
Paso 15: Valor numérico aproximado: \(\pi^2\approx9.8696\) entonces \(1.44\times10^{-3}\pi^2\approx1.44\times10^{-3}\cdot9.8696\approx1.421\times10^{-2}\).
Resultado final: \(\boxed{\mathcal{E}(t)=-1.44\times10^{-3}\pi^2\cos(120t)\ \mathrm{V}\approx\,\boxed{-1.42\times10^{-2}\cos(120t)\ \mathrm{V}} }\)