Página 137 - ejercicios
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MATEMÁTICA Educación General Básica – Subnivel Superior 10 Décimo de Básica – Pág 137 – Resuelto 0
Razones Trigonométricas y Ley de Cosenos
En esta sección de resolución de problemas, aplicamos conceptos fundamentales de la geometría y la trigonometría para resolver situaciones que involucran triángulos rectángulos y triángulos generales.
Relaciones en el Triángulo Rectángulo
Para un triángulo rectángulo con catetos a y b, e hipotenusa c, se cumplen las siguientes relaciones:
- Teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Tangente: \( \tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \)
- Cotangente: \( \cot(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}} = \frac{1}{\tan(\theta)} \)
Ley de Cosenos
Cuando trabajamos con triángulos que no son necesariamente rectángulos, utilizamos la Ley de Cosenos para relacionar sus lados y un ángulo:
$$ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos(\alpha) $$
Esta ley es una generalización del Teorema de Pitágoras y permite encontrar un lado desconocido si conocemos los otros dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Seccion Practica
Este es el proceso para resolver los ejercicios y sus resultados y/o ejemplos para la página 137.
Ejercicio 6
Pregunta: a) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a \( \frac{5}{2} \) del producto de sus catetos. ¿Cuánto mide la cotangente del ángulo mayor?
Respuesta: Sean a y b los catetos, y c la hipotenusa. Por el Teorema de Pitágoras sabemos que:
$$ c^2 = a^2 + b^2 $$
El enunciado nos dice que:
$$ c^2 = \frac{5}{2}ab $$
Igualamos ambas expresiones:
$$ a^2 + b^2 = \frac{5}{2}ab $$
Dividimos toda la ecuación por \( ab \):
$$ \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{5}{2} $$
$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2.5 $$
Sea \( x = \frac{a}{b} \) (que representa la tangente de uno de los ángulos agudos):
$$ x + \frac{1}{x} = 2.5 $$
$$ x^2 – 2.5x + 1 = 0 $$
Resolvemos la ecuación cuadrática multiplicando por 2:
$$ 2x^2 – 5x + 2 = 0 $$
$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{5 \pm 3}{4} $$
Las soluciones son \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = 0.5 \).
Si tomamos \( \tan(\alpha) = 2 \), el ángulo es mayor que si tomamos \( \tan(\alpha) = 0.5 \). La cotangente del ángulo mayor será el recíproco de su tangente:
$$ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{2} = 0.5 $$
La cotangente del ángulo mayor es 0.5.
Ejercicio 6b
Pregunta: b) En el siguiente triángulo, se conoce que \( \tan \alpha = 2.4 \). Calculo la longitud de a.
Respuesta: Primero, determinamos el valor de \( \cos \alpha \) a partir de \( \tan \alpha = 2.4 = \frac{12}{5} \).
Sabemos que en un triángulo rectángulo auxiliar con cateto opuesto 12 y adyacente 5, la hipotenusa es \( \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \). Por lo tanto:
$$ \cos \alpha = \frac{5}{13} $$
Ahora, aplicamos la Ley de Cosenos en el triángulo dado (lados 26, 17 y a):
$$ a^2 = 26^2 + 17^2 – 2(26)(17) \cos \alpha $$
$$ a^2 = 676 + 289 – 2(26)(17) \left(\frac{5}{13}\right) $$
Simplificamos el término de la derecha (sabiendo que \( 26 / 13 = 2 \)):
$$ a^2 = 965 – (2 \cdot 2 \cdot 17 \cdot 5) $$
$$ a^2 = 965 – 340 $$
$$ a^2 = 625 $$
$$ a = \sqrt{625} = 25 $$
La longitud de a es 25.
Guía de resultados
Estos son los resultados de todos los ejercicios que se obtuvieron de la página 137.:
- 0.5
- 25
